Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem B. 4841. (January 2017)

B. 4841. The circle $\displaystyle k$ centred at $\displaystyle O$ intersects line $\displaystyle e$ at points $\displaystyle A$ and $\displaystyle B$, and it intersects the perpendicular bisector of line segment $\displaystyle OB$ at points $\displaystyle C$ and $\displaystyle D$. Prove that the angle bisector of angle $\displaystyle COA \sphericalangle$ and line $\displaystyle e$ enclose an angle of 60 degrees.

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pontok helyzete alapján két különböző ábra rajzolható meg, de a megoldás mindkét esetben ugyanaz.

Legyen az $\displaystyle OB$ sugár felezőpontja $\displaystyle F$. A felezőmerőleges a körvonalat metszi a $\displaystyle C$ és $\displaystyle D$ pontokban, emiatt a $\displaystyle COF$ és $\displaystyle DOF$ háromszögek félszabályosak, $\displaystyle ODF\angle=ODC\angle=OCD\angle=30^{\circ}.$ A $\displaystyle CAB\angle$ és a $\displaystyle CDB\angle$ a $\displaystyle BC$ íven nyugvó kerületi szögek, vagyis a $\displaystyle CA$ egyenes $\displaystyle 30^{\circ}$-os szöget zár be az $\displaystyle AB$ húr $\displaystyle e$ egyenesével. Az $\displaystyle AC$-re állított merőlegesek, köztük a $\displaystyle COA\angle$ szögfelezője, ezért $\displaystyle 60^{\circ}$-os szöget zárnak be vele.

### Statistics:

 115 students sent a solution. 3 points: 108 students. 2 points: 3 students. 1 point: 4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017