Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4842. (January 2017)

B. 4842. Let \(\displaystyle p\) denote an arbitrary (positive) prime number. Find all positive integers \(\displaystyle b\) such that the roots of the quadratic \(\displaystyle x^2-bx+bp = 0\) are integers.

(Proposed by Á. Lelkes, New York City)

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle x^2-bx+bp\) egyenlet két gyöke, \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\), egész. A Viète-formulák szerint \(\displaystyle x_1+x_2=b\) és \(\displaystyle x_1x_2=bp\). Mivel \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle bp\) is pozitív, ezért \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\) is pozitívak. Mivel \(\displaystyle p\) prímszám, ezért \(\displaystyle x_1x_2=bp\) miatt \(\displaystyle x_1\) vagy \(\displaystyle x_2\) osztható \(\displaystyle p\)-vel. Feltehető, hogy \(\displaystyle x_1\), ekkor \(\displaystyle x_1=cp\), ahol \(\displaystyle c\) pozitív egész szám. Így \(\displaystyle x_2=b-x_1=b-cp\), és ezért \(\displaystyle bp=x_1x_2=cp(b-cp)\). Ebből átrendezés után \(\displaystyle bp(c-1)=c^2p^2\), vagyis \(\displaystyle b=\frac{c^2p}{c-1}\) adódik. (Nem lehet \(\displaystyle c=1\), hiszen \(\displaystyle c^2p^2>0\).) Mivel \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle c-1\) relatív prímek, ezért \(\displaystyle b=\frac{c^2p}{c-1}\) csak úgy lehet egész szám, ha \(\displaystyle c-1\mid p\). A \(\displaystyle c-1\) nemnegatív egész számnak tehát osztania kell a \(\displaystyle p\) prímszámot, így \(\displaystyle c-1=1\) vagy \(\displaystyle c-1=p\).

Ha \(\displaystyle c-1=1\), akkor \(\displaystyle c=2\) és \(\displaystyle b=4p\). Ekkor a \(\displaystyle 0=x^2-4px+4p^2=(x-2p)^2\) egyenlet gyökei valóban egészek: \(\displaystyle x_1=x_2=2p\).

Ha \(\displaystyle c-1=p\), akkor \(\displaystyle c=p+1\) és \(\displaystyle b=c^2=(p+1)^2\). Ekkor a \(\displaystyle 0=x^2-(p+1)^2x+p(p+1)^2=(x-p(p+1))(x-(p+1))\) egyenlet gyökei szintén egészek: \(\displaystyle x_1=p(p+1)\) és \(\displaystyle x_2=p+1\).

Tehát a feltételnek eleget tevő \(\displaystyle b\) pozitív egész számok: \(\displaystyle b=4p\) és \(\displaystyle b=(p+1)^2\).


Statistics:

96 students sent a solution.
4 points:Alexy Milán, Ardai István Tamás, Bán Dániel, Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csiszár Zoltán, Csuha Boglárka, Daróczi Sándor, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Fuisz Gábor, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Gál Hanna, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Harsch Leila, Imolay András, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kovács 526 Tamás, Kupás Vendel Péter, Mészáros 916 Márton, Morassi Máté, Nagymihály Panka, Németh 123 Balázs, Nguyen Thac Bach, Noszály Áron, Olosz Adél, Póta Balázs, Richlik Róbert, Rittgasszer Ákos, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond, Simon Dániel Gábor, Surján Anett, Szabó Kristóf, Szécsényi Nándor, Tóth Viktor, Tran 444 Ádám, Vágó Ákos, Várkonyi Dorka, Velkey Vince, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
3 points:9 students.
2 points:17 students.
1 point:15 students.
0 point:6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017