KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4842. Let \(\displaystyle p\) denote an arbitrary (positive) prime number. Find all positive integers \(\displaystyle b\) such that the roots of the quadratic \(\displaystyle x^2-bx+bp = 0\) are integers.

(Proposed by Á. Lelkes, New York City)

(4 points)

Deadline expired on 10 February 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle x^2-bx+bp\) egyenlet két gyöke, \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\), egész. A Viète-formulák szerint \(\displaystyle x_1+x_2=b\) és \(\displaystyle x_1x_2=bp\). Mivel \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle bp\) is pozitív, ezért \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\) is pozitívak. Mivel \(\displaystyle p\) prímszám, ezért \(\displaystyle x_1x_2=bp\) miatt \(\displaystyle x_1\) vagy \(\displaystyle x_2\) osztható \(\displaystyle p\)-vel. Feltehető, hogy \(\displaystyle x_1\), ekkor \(\displaystyle x_1=cp\), ahol \(\displaystyle c\) pozitív egész szám. Így \(\displaystyle x_2=b-x_1=b-cp\), és ezért \(\displaystyle bp=x_1x_2=cp(b-cp)\). Ebből átrendezés után \(\displaystyle bp(c-1)=c^2p^2\), vagyis \(\displaystyle b=\frac{c^2p}{c-1}\) adódik. (Nem lehet \(\displaystyle c=1\), hiszen \(\displaystyle c^2p^2>0\).) Mivel \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle c-1\) relatív prímek, ezért \(\displaystyle b=\frac{c^2p}{c-1}\) csak úgy lehet egész szám, ha \(\displaystyle c-1\mid p\). A \(\displaystyle c-1\) nemnegatív egész számnak tehát osztania kell a \(\displaystyle p\) prímszámot, így \(\displaystyle c-1=1\) vagy \(\displaystyle c-1=p\).

Ha \(\displaystyle c-1=1\), akkor \(\displaystyle c=2\) és \(\displaystyle b=4p\). Ekkor a \(\displaystyle 0=x^2-4px+4p^2=(x-2p)^2\) egyenlet gyökei valóban egészek: \(\displaystyle x_1=x_2=2p\).

Ha \(\displaystyle c-1=p\), akkor \(\displaystyle c=p+1\) és \(\displaystyle b=c^2=(p+1)^2\). Ekkor a \(\displaystyle 0=x^2-(p+1)^2x+p(p+1)^2=(x-p(p+1))(x-(p+1))\) egyenlet gyökei szintén egészek: \(\displaystyle x_1=p(p+1)\) és \(\displaystyle x_2=p+1\).

Tehát a feltételnek eleget tevő \(\displaystyle b\) pozitív egész számok: \(\displaystyle b=4p\) és \(\displaystyle b=(p+1)^2\).


Statistics on problem B. 4842.
96 students sent a solution.
4 points:Alexy Milán, Ardai István Tamás, Bán Dániel, Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csiszár Zoltán, Csuha Boglárka, Daróczi Sándor, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Fuisz Gábor, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Gál Hanna, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Harsch Leila, Imolay András, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kovács 526 Tamás, Kupás Vendel Péter, Mészáros 916 Márton, Morassi Máté, Nagymihály Panka, Németh 123 Balázs, Nguyen Thac Bach, Noszály Áron, Olosz Adél, Póta Balázs, Richlik Róbert, Rittgasszer Ákos, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond, Simon Dániel Gábor, Surján Anett, Szabó Kristóf, Szécsényi Nándor, Tóth Viktor, Tran 444 Ádám, Vágó Ákos, Várkonyi Dorka, Velkey Vince, Weisz Máté, Zsigri Bálint.
3 points:9 students.
2 points:17 students.
1 point:15 students.
0 point:6 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley