KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4843. The escribed circles drawn to sides \(\displaystyle AC\) and \(\displaystyle BC\) of a triangle \(\displaystyle ABC\) touch the sides at points \(\displaystyle K\) and \(\displaystyle L\), respectively. Prove that the line passing through the midpoints of line segments \(\displaystyle KL\) and \(\displaystyle AB\) is parallel to the angle bisector of \(\displaystyle ACB\sphericalangle\), and it halves the perimeter of the triangle.

(Based on a Kvant problem)

(5 points)

Deadline expired on 10 February 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Tükrözzük az \(\displaystyle ABC\) háromszöget az \(\displaystyle O_1CO_2\) egyenesre. Az ábra jelöléseit használva legyenek az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsok tükörképei rendre \(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle B_1\), az érintési pontoké pedig \(\displaystyle K_1\) és \(\displaystyle L_1\).

A \(\displaystyle C\) csúcsnál lévő szögfelezőket szaggatott vonallal jelöljük, ezek merőlegesek egymásra. Az \(\displaystyle ACB\angle\) legyen \(\displaystyle 2\alpha\). A tükrözés miatt \(\displaystyle AA_1\) és \(\displaystyle BB_1\) is merőleges \(\displaystyle O_1O_2\)-re, és így \(\displaystyle A_1BB_1\angle=A_1AB_1\angle=\alpha\).

Ekkor \(\displaystyle ACA_1\), \(\displaystyle KCK_1\), \(\displaystyle LCL_1\), \(\displaystyle BCB_1\) egyenlő szárú háromszögek, emiatt \(\displaystyle AA_1||KK_1||LL_1||BB_1\), vagyis az \(\displaystyle ABB_1A_1\) és \(\displaystyle KLL_1K_1\) négyszögek szimmetrikus trapézok és alapjaik párhuzamosak.

Húzzuk be az \(\displaystyle ABB_1 A_1\) trapéz \(\displaystyle MM_1\) középvonalát. Belátjuk, hogy ez egyben a \(\displaystyle KLL_1 K_1\) trapéznak is középvonala. Az érintőszakaszok egyenlősége miatt \(\displaystyle AL_1=AL_2\).

\(\displaystyle AL_1=AC+CL_1=AC+CL\), \(\displaystyle AL_2=AB+BL_2=AB+BL\), másrészt \(\displaystyle AB+BL+AC+CL=K_{ABC}\). Ezért \(\displaystyle AL_1=AL_2=\frac{K_{ABC}}{2}\).

Hasonlóan beláthatjuk, hogy \(\displaystyle BK_1=BK_2=\frac{K_{ABC}}{2}\).

Így \(\displaystyle AL_2=AB+BL_2=BK_2=AB+AK_2\), ezért \(\displaystyle AK_2=BL_2\), vagyis \(\displaystyle AK=BL\). Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle AKP\) és \(\displaystyle BLQ\) egybevágó derékszögű háromszögek, így \(\displaystyle LQ=KP\), vagyis az \(\displaystyle ABB_1 A_1\) és \(\displaystyle KLL_1 K_1\) trapézok megfelelő alapjainak távolsága megegyezik, tehát középvonalaik egybeesnek. Így az \(\displaystyle MF\) egyenes, ami a közös középvonal, felezi az \(\displaystyle ABB_1 A_1\) trapéz \(\displaystyle AB_1\) átlóját az \(\displaystyle N\) pontban.

Mivel \(\displaystyle AB_1=AC+BC\), \(\displaystyle AN=\frac{AC+BC}{2}\) és \(\displaystyle AM=\frac{AB}{2}\), így \(\displaystyle AM+AN=\frac{AB+BC+AC}{2}\), vagyis az \(\displaystyle MF\) egyenes felezi az \(\displaystyle ABC\) háromszög kerületét.

Másrészt az \(\displaystyle MF\) egyenes merőleges a trapézok \(\displaystyle O_1 O_2\) szimmetria tengelyére, ami egyben az \(\displaystyle ABC\) háromszög külső szögfelezője, és így párhuzamos a \(\displaystyle C\) pontból induló belső szögfelezővel.


Statistics on problem B. 4843.
62 students sent a solution.
5 points:52 students.
4 points:1 student.
3 points:4 students.
2 points:2 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley