KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4846. (January 2017)

B. 4846. The intersection of five closed half planes is bounded. Show that it is possible to select four out of them such that their intersection is also bounded.

(4 pont)

Deadline expired on 10 February 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. A félsíkok metszete egy legfeljebb öt oldalú (esetleg elfajuló) konvex sokszög (vagy üres). Feltehetjük, hogy az öt félsík metszete egy konvex ötszög, különben létezik olyan félsík, amit elhagyva a metszet nem változik.

Legyen \(\displaystyle e\) valamely félsíkot határoló egyenes, valamint legyen a metszet ötszög neki megfelelő oldala \(\displaystyle \hat e\). Az \(\displaystyle e\) egyeneshez tartozó félsíkot elhagyva akkor marad korlátos a metszet, ha az ötszög \(\displaystyle \hat e\) oldalán fekvő szögek összege szigorúan nagyobb, mint \(\displaystyle 180^\circ\).

Tegyük fel, hogy nincs ilyen oldal. Ekkor minden oldalon a szögek összege legfeljebb \(\displaystyle 180^\circ\), ezért az ötszög belső szögeinek összege legfeljebb \(\displaystyle 5\cdot 180^\circ /2<540^\circ\). Ellentmondásra jutottunk, ezért az állítás igaz.


Statistics:

37 students sent a solution.
4 points:Imolay András, Kerekes Anna, Zsigri Bálint.
3 points:Csiszár Zoltán, Döbröntei Dávid Bence, Fülöp Anna Tácia, Nagy Nándor, Póta Balázs.
2 points:11 students.
1 point:3 students.
0 point:14 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley