Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4846. (January 2017)

B. 4846. The intersection of five closed half planes is bounded. Show that it is possible to select four out of them such that their intersection is also bounded.

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. A félsíkok metszete egy legfeljebb öt oldalú (esetleg elfajuló) konvex sokszög (vagy üres). Feltehetjük, hogy az öt félsík metszete egy konvex ötszög, különben létezik olyan félsík, amit elhagyva a metszet nem változik.

Legyen \(\displaystyle e\) valamely félsíkot határoló egyenes, valamint legyen a metszet ötszög neki megfelelő oldala \(\displaystyle \hat e\). Az \(\displaystyle e\) egyeneshez tartozó félsíkot elhagyva akkor marad korlátos a metszet, ha az ötszög \(\displaystyle \hat e\) oldalán fekvő szögek összege szigorúan nagyobb, mint \(\displaystyle 180^\circ\).

Tegyük fel, hogy nincs ilyen oldal. Ekkor minden oldalon a szögek összege legfeljebb \(\displaystyle 180^\circ\), ezért az ötszög belső szögeinek összege legfeljebb \(\displaystyle 5\cdot 180^\circ /2<540^\circ\). Ellentmondásra jutottunk, ezért az állítás igaz.


Statistics:

37 students sent a solution.
4 points:Imolay András, Kerekes Anna, Zsigri Bálint.
3 points:Csiszár Zoltán, Döbröntei Dávid Bence, Fülöp Anna Tácia, Nagy Nándor, Póta Balázs.
2 points:11 students.
1 point:3 students.
0 point:14 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017