Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4847. (January 2017)

B. 4847. Let \(\displaystyle f\) be a positive bounded function defined on the interval \(\displaystyle [0;1]\). Prove that there are numbers \(\displaystyle x_1\) and \(\displaystyle x_2\) for which

\(\displaystyle \frac{(x_2-x_1)f^2(x_1)}{f(x_2)} >\frac{f(0)}4. \)

(O. Reutter, Germany)

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel indirekten, hogy az állítás hamis, vagyis bármely \(\displaystyle 0\leq x_1<x_2\leq 1\) esetén

\(\displaystyle \frac{(x_2-x_1)f^2(x_1)}{f(x_2)}\leq \frac{f(0)}{4}.\)

Meg fogjuk mutatni \(\displaystyle n\)-re vonatkozó teljes indukcióval, hogy \(\displaystyle f(1-2^{-n})\geq 2^nf(0)\). Ha \(\displaystyle n=0\), akkor ez nyilvánvalóan teljesül. Tegyük fel, hogy beláttuk már, hogy \(\displaystyle f(1-2^{-n})\geq 2^nf(0)\) valamely \(\displaystyle n\geq 0\) esetén. Az \(\displaystyle x_1=1-2^{-n},x_2=1-2^{-(n+1)}\) választással az indirekt feltevésünk szerint:

\(\displaystyle \frac{((1-2^{-(n+1)})-(1-2^{-n}))f^2(1-2^{-n})}{f(1-2^{-(n+1)})}\leq \frac{f(0)}{4}.\)

Ebből átszorzás és leosztás után:

\(\displaystyle 4\cdot\frac{2^{-(n+1)}f^2(1-2^{-n})}{f(0)}\leq f(1-2^{-(n+1)}).\)

Az indukciós feltevés segítségével a bal oldal alulról becsülhető:

\(\displaystyle 4\cdot\frac{2^{-(n+1)}f^2(1-2^{-n})}{f(0)}\geq 4\cdot\frac{2^{-(n+1)}(2^nf(0))^2}{f(0)}=2^{n+1}f(0).\)

Így \(\displaystyle 2^{n+1}f(0)\leq f(1-2^{-(n+1)})\), vagyis az egyenlőtlenség \(\displaystyle (n+1)\)-re is teljesül.

Ezzel bebizonyítottuk, hogy \(\displaystyle f(1-2^{-n})\geq 2^nf(0)\) minden \(\displaystyle n\)-re, ami viszont ellentmond annak, hogy \(\displaystyle f\) korlátos \(\displaystyle [0,1]\)-en. Vagyis az indirekt feltevésünk hamis, és így a feladat állítása igaz.


Statistics:

18 students sent a solution.
6 points:Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Hansel Soma, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kovács 246 Benedek, Matolcsi Dávid, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szemerédi Levente, Tóth Viktor, Weisz Máté.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017