KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4847. (January 2017)

B. 4847. Let \(\displaystyle f\) be a positive bounded function defined on the interval \(\displaystyle [0;1]\). Prove that there are numbers \(\displaystyle x_1\) and \(\displaystyle x_2\) for which

\(\displaystyle \frac{(x_2-x_1)f^2(x_1)}{f(x_2)} >\frac{f(0)}4. \)

(O. Reutter, Germany)

(6 pont)

Deadline expired on 10 February 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel indirekten, hogy az állítás hamis, vagyis bármely \(\displaystyle 0\leq x_1<x_2\leq 1\) esetén

\(\displaystyle \frac{(x_2-x_1)f^2(x_1)}{f(x_2)}\leq \frac{f(0)}{4}.\)

Meg fogjuk mutatni \(\displaystyle n\)-re vonatkozó teljes indukcióval, hogy \(\displaystyle f(1-2^{-n})\geq 2^nf(0)\). Ha \(\displaystyle n=0\), akkor ez nyilvánvalóan teljesül. Tegyük fel, hogy beláttuk már, hogy \(\displaystyle f(1-2^{-n})\geq 2^nf(0)\) valamely \(\displaystyle n\geq 0\) esetén. Az \(\displaystyle x_1=1-2^{-n},x_2=1-2^{-(n+1)}\) választással az indirekt feltevésünk szerint:

\(\displaystyle \frac{((1-2^{-(n+1)})-(1-2^{-n}))f^2(1-2^{-n})}{f(1-2^{-(n+1)})}\leq \frac{f(0)}{4}.\)

Ebből átszorzás és leosztás után:

\(\displaystyle 4\cdot\frac{2^{-(n+1)}f^2(1-2^{-n})}{f(0)}\leq f(1-2^{-(n+1)}).\)

Az indukciós feltevés segítségével a bal oldal alulról becsülhető:

\(\displaystyle 4\cdot\frac{2^{-(n+1)}f^2(1-2^{-n})}{f(0)}\geq 4\cdot\frac{2^{-(n+1)}(2^nf(0))^2}{f(0)}=2^{n+1}f(0).\)

Így \(\displaystyle 2^{n+1}f(0)\leq f(1-2^{-(n+1)})\), vagyis az egyenlőtlenség \(\displaystyle (n+1)\)-re is teljesül.

Ezzel bebizonyítottuk, hogy \(\displaystyle f(1-2^{-n})\geq 2^nf(0)\) minden \(\displaystyle n\)-re, ami viszont ellentmond annak, hogy \(\displaystyle f\) korlátos \(\displaystyle [0,1]\)-en. Vagyis az indirekt feltevésünk hamis, és így a feladat állítása igaz.


Statistics:

18 students sent a solution.
6 points:Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Hansel Soma, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kovács 246 Benedek, Matolcsi Dávid, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szemerédi Levente, Tóth Viktor, Weisz Máté.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley