Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4848. (January 2017)

B. 4848. Find all convex polyhedra \(\displaystyle P\) whose interior contains a point \(\displaystyle O\) such that every plane passing through \(\displaystyle O\) intersects \(\displaystyle P\) in a parallelogram centred at \(\displaystyle O\).

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle P\) egy tetszőleges pontja, s tekintsünk egy, az \(\displaystyle XO\) egyenest tartalmazó tetszőleges síkmetszetet. Ez a síkmetszet egy \(\displaystyle O\) centrumú paralelogramma, tehát tartalmazza az \(\displaystyle X\) pont \(\displaystyle O\)-ra vonatkozó \(\displaystyle X'\) tükörképét. Így \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle O\) pontra középpontosan szimmetrikus.

Most legyen \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) a \(\displaystyle P\) két tetszőleges, nem centrálisan átellenes csúcsa. Ekkor az \(\displaystyle XYO\) síkmetszet éppen az \(\displaystyle XYX'Y'\) paralelogramma, ami miatt \(\displaystyle XY\) a \(\displaystyle P\) határán van, így illeszkedik \(\displaystyle P\) valamilyen lapjára. A B.4838. feladat szerint \(\displaystyle P\) egy paralelepipedon, vagy csúcsai épp egy paralelepipedon lapközéppontjai.

Mindkét esetben van a testnek hatszög alakú centrálmetszete, ezért nincs a kívánalmaknak megfelelő konvex poliéder.


Statistics:

21 students sent a solution.
6 points:Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Gáspár Attila, Hoffmann Balázs, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Nagy Nándor, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Tóth Viktor, Weisz Máté.
5 points:Alexy Milán, Keresztfalvi Bálint, Németh 123 Balázs, Szabó Kristóf.
4 points:1 student.
3 points:2 students.
2 points:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017