Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4849. (February 2017)

B. 4849. The centre of the inscribed circle of \(\displaystyle ABC\triangle\) is \(\displaystyle K\), and the centre of the excircle drawn to side \(\displaystyle AB\) is \(\displaystyle L\). Prove that the line segment \(\displaystyle KL\) and the arc \(\displaystyle AB\) of the circumscribed circle not containing \(\displaystyle C\) bisect each other.

(3 pont)

Deadline expired on March 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle C\)-hez tartozó belső szögfelező felezi a körülírt kör \(\displaystyle AB\) ívét, mert két egyenlő kerületi szöghöz egy körben egyenlő ívek tartoznak. Az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőmerőlegese is felezi az \(\displaystyle AB\) ívet, hiszen az \(\displaystyle AB\) szakasz és a kör is tengelyesen szimmetrikus erre a felezőmerőlegesre. A \(\displaystyle C\)-hez tartozó belső szögfelező és az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőmerőlegese tehát az \(\displaystyle AB\) ív \(\displaystyle F\) felezőpontjában metszik egymást.

Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsokhoz tartozó külső szögfelezők és a \(\displaystyle C\)-hez tartozó belső szögfelező az \(\displaystyle AB\) oldalhoz hozzáírt kör \(\displaystyle L\) középpontjában metszik egymást. Vagyis \(\displaystyle KL\) egyenese a \(\displaystyle C\)-hez tartozó belső szögfelező. Másrészt az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsokhoz tartozó belső és külső szögfelezők merőlegesek egymásra, \(\displaystyle KAL\angle =LBK\angle=90^{\circ}\). Emiatt az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok a \(\displaystyle KL\) szakasz Thálesz-körén helyezkednek el. Ennek a körnek \(\displaystyle KL\) átmérője, az \(\displaystyle AB\) pedig húrja. A húr felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján, ami a \(\displaystyle KL\) szakasz felezőpontja. Tehát az \(\displaystyle F\) pont a \(\displaystyle KL\) felezőpontja is.


Statistics:

101 students sent a solution.
3 points:84 students.
2 points:6 students.
1 point:9 students.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2017