KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4849. The centre of the inscribed circle of \(\displaystyle ABC\triangle\) is \(\displaystyle K\), and the centre of the excircle drawn to side \(\displaystyle AB\) is \(\displaystyle L\). Prove that the line segment \(\displaystyle KL\) and the arc \(\displaystyle AB\) of the circumscribed circle not containing \(\displaystyle C\) bisect each other.

(3 points)

Deadline expired on 10 March 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A \(\displaystyle C\)-hez tartozó belső szögfelező felezi a körülírt kör \(\displaystyle AB\) ívét, mert két egyenlő kerületi szöghöz egy körben egyenlő ívek tartoznak. Az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőmerőlegese is felezi az \(\displaystyle AB\) ívet, hiszen az \(\displaystyle AB\) szakasz és a kör is tengelyesen szimmetrikus erre a felezőmerőlegesre. A \(\displaystyle C\)-hez tartozó belső szögfelező és az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőmerőlegese tehát az \(\displaystyle AB\) ív \(\displaystyle F\) felezőpontjában metszik egymást.

Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsokhoz tartozó külső szögfelezők és a \(\displaystyle C\)-hez tartozó belső szögfelező az \(\displaystyle AB\) oldalhoz hozzáírt kör \(\displaystyle L\) középpontjában metszik egymást. Vagyis \(\displaystyle KL\) egyenese a \(\displaystyle C\)-hez tartozó belső szögfelező. Másrészt az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsokhoz tartozó belső és külső szögfelezők merőlegesek egymásra, \(\displaystyle KAL\angle =LBK\angle=90^{\circ}\). Emiatt az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok a \(\displaystyle KL\) szakasz Thálesz-körén helyezkednek el. Ennek a körnek \(\displaystyle KL\) átmérője, az \(\displaystyle AB\) pedig húrja. A húr felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján, ami a \(\displaystyle KL\) szakasz felezőpontja. Tehát az \(\displaystyle F\) pont a \(\displaystyle KL\) felezőpontja is.


Statistics on problem B. 4849.
101 students sent a solution.
3 points:84 students.
2 points:6 students.
1 point:9 students.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley