Problem B. 4850. (February 2017)

B. 4850. Solve the following simultaneous equations in the set of real numbers:

\(\displaystyle \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\ldots+\sqrt{x_{2016}} =\sqrt{2017}\,,\)

\(\displaystyle x_1+x_2+\ldots+x_{2016} =2017.\)

(Proposed by J. Szoldatics, Budapest)

(3 pont)

Deadline expired on March 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is megjegyezzük, hogy minden \(\displaystyle x_i\)-nek nemnegatívnak kell lennie, különben az első egyenlet nem értelmes.

Az első egyenletet négyzetre emelve, majd ebből a második egyenletet kivonva a következőt kapjuk:

\(\displaystyle \sum\limits_{1\leq i<j\leq 2016} 2\sqrt{x_ix_j}=0.\)

Mivel itt a bal oldalon minden összeadandó nemnegatív, ezért az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha mindegyikük 0. Ez azt jelenti, hogy az összes \(\displaystyle x_ix_j\) szorzatnak 0-nak kell lennie, vagyis az \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_{2016}\) számok közül legfeljebb az egyik lehet 0-tól különböző, ennek az értéke legyen \(\displaystyle a\). Az eredeti második egyenlet alapján viszont ekkor \(\displaystyle a=2017\).

Ha az \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_{2016}\) számok valamelyike 2017, a többi pedig 0, akkor teljesül mindkét egyenlet, így ezek valóban megoldások.

Statistics:

138 students sent a solution.
3 points:	131 students.
2 points:	3 students.
1 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2017