KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4850. (February 2017)

B. 4850. Solve the following simultaneous equations in the set of real numbers:

\(\displaystyle \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\ldots+\sqrt{x_{2016}} =\sqrt{2017}\,,\)

\(\displaystyle x_1+x_2+\ldots+x_{2016} =2017.\)

(Proposed by J. Szoldatics, Budapest)

(3 pont)

Deadline expired on 10 March 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először is megjegyezzük, hogy minden \(\displaystyle x_i\)-nek nemnegatívnak kell lennie, különben az első egyenlet nem értelmes.

Az első egyenletet négyzetre emelve, majd ebből a második egyenletet kivonva a következőt kapjuk:

\(\displaystyle \sum\limits_{1\leq i<j\leq 2016} 2\sqrt{x_ix_j}=0.\)

Mivel itt a bal oldalon minden összeadandó nemnegatív, ezért az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha mindegyikük 0. Ez azt jelenti, hogy az összes \(\displaystyle x_ix_j\) szorzatnak 0-nak kell lennie, vagyis az \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_{2016}\) számok közül legfeljebb az egyik lehet 0-tól különböző, ennek az értéke legyen \(\displaystyle a\). Az eredeti második egyenlet alapján viszont ekkor \(\displaystyle a=2017\).

Ha az \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_{2016}\) számok valamelyike 2017, a többi pedig 0, akkor teljesül mindkét egyenlet, így ezek valóban megoldások.


Statistics:

138 students sent a solution.
3 points:131 students.
2 points:3 students.
1 point:4 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley