KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4851. Prove that if all three roots of the equation

\(\displaystyle x^3-px^2+qx-r=0 \)

are positive then the sum of the reciprocals of the roots is at most \(\displaystyle \frac{p^2}{3r}\).

(Proposed by M. Kovács, Budapest)

(4 points)

Deadline expired on 10 March 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen az egyenlet három gyöke \(\displaystyle x_1,x_2,x_3\). Ekkor a Viète-formulák szerint

\(\displaystyle p=x_1+x_2+x_3,\)

\(\displaystyle q=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1,\)

\(\displaystyle r=x_1x_2x_3.\)

(Ebből látható, hogy \(\displaystyle p,q,r\) is pozitív számok.) Ezt felhasználva a gyökök reciprokösszege:

\(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}{x_1x_2x_3}=\frac{q}{r}.\)

Így a bizonyítandó egyenlőtlenség:

\(\displaystyle \frac{q}{r}\leq \frac{p^2}{3r}.\)

Ekvivalens átalakítás, ha szorzunk a (pozitív) \(\displaystyle 3r\) számmal:

\(\displaystyle 3q\leq p^2.\)

A \(\displaystyle q\) és \(\displaystyle p\) számokat a gyökökkel kifejezve:

\(\displaystyle 3(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)\leq (x_1+x_2+x_3)^2.\)

Az egyenletet 2-vel szorozva, rendezve, és teljes négyzeteket kialakítva a következő egyenlőtlenséget kapjuk:

\(\displaystyle 0\leq (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2.\)

Ez pedig valóban teljesül, amivel a feladat állítását igazoltuk.


Statistics on problem B. 4851.
118 students sent a solution.
4 points:73 students.
3 points:36 students.
2 points:7 students.
1 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley