Problem B. 4852. (February 2017)

B. 4852. Triangle \(\displaystyle A_1B_1C_1\) is inscribed in triangle \(\displaystyle ABC\), and triangle \(\displaystyle A_2B_2C_2\) is circumscribed about it as shown in the figure, where \(\displaystyle A_1B_1\parallel A_2B_2\), \(\displaystyle B_1C_1\parallel B_2C_2\) and \(\displaystyle C_1A_1\parallel C_2A_2\). The areas of triangles \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle A_1B_1C_1\) and \(\displaystyle A_2B_2C_2\) are \(\displaystyle t\), \(\displaystyle t_1\) and \(\displaystyle t_2\), respectively.

Prove that \(\displaystyle t^2=t_1\cdot t_2\).

(Proposed by S. Róka, Nyíregyháza)

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle C, C_{1}, C_{2}\) csúcsokkal szemközti oldalak (a szokásos jelölések szerint) \(\displaystyle c, c_{1}, c_{2}\), a hozzájuk tartozó magasságok rendre \(\displaystyle m, m_{1}, m_{2}\).

Az \(\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}\) és \(\displaystyle A_{2}B_{2}C_{2}\) háromszögek hasonlóak, tehát \(\displaystyle \frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}\), azaz \(\displaystyle c_{1}\cdot m_{2}=c_{2}\cdot m_{1}\). Emiatt

\(\displaystyle t_{1}\cdot t_{2}=\Big {(}\frac{1}{2}c_{1}\cdot m_{1}\Big{)}\Big {(}\frac{1}{2}c_{2}\cdot m_{2}\Big{)}=\frac{1}{4}c_{1}\cdot m_{1}\cdot c_{2}\cdot m_{2}=\frac{1}{4}\Big {(}c_{1}\cdot m_{2}\Big{)}^{2}.\)

Mivel \(\displaystyle B_{1}C_{1}\| AC_{2}\) ezért a \(\displaystyle B_{1}C_{1}A\) és \(\displaystyle B_{1}C_{1}C_{2}\) háromszögeknek egy-egy oldala és a hozzájuk tartozó magasság megegyezik, tehát egyenlő a területük. Hasonlóan \(\displaystyle C_{1}A_{1} \| C_{2}B\) és azonnal adódik, hogy szintén megegyezik a \(\displaystyle C_{1}A_{1}B\) és \(\displaystyle C_{1}A_{1}C_{2}\) háromszögek területe is.

Az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe egyenlő a \(\displaystyle CB_{1}C_{2}A_{1}\) négyszög területével, mivel a \(\displaystyle CB_{1}C_{1}A_{1}\) négyszöget mindkét síkidom tartalmazza, továbbá beláttuk, hogy a \(\displaystyle B_{1}C_{1}A\) és \(\displaystyle B_{1}C_{1}C_{2}\), illetve a \(\displaystyle C_{1}A_{1}B\) és \(\displaystyle C_{1}A_{1}C_{2}\) háromszögek területe is megegyezik.

A \(\displaystyle CB_{1}C_{2}A_{1}\) négyszög az \(\displaystyle A_{1}B_{1}\) átlóval két háromszögre bontható, így területe az ábra jelöléseivel \(\displaystyle t=\frac{1}{2}c_{1}(m'+m'')\). Mivel \(\displaystyle m'+m''=m_{2}\), ezért \(\displaystyle t=\frac{1}{2}c_{1}m_{2}\), amiből \(\displaystyle t^2==\frac{1}{4}\Big {(}c_{1}\cdot m_{2}\Big{)}^{2}\).

Ezzel igazoltuk, hogy \(\displaystyle t^{2}=t_{1}\cdot t_{2}\).

Statistics:

62 students sent a solution.
5 points:	Al-Sayyed Zakariás, Andó Angelika, Ardai István Tamás, Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Csiszár Zoltán, Csuha Boglárka, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Balázs Attila, Fülöp Anna Tácia, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, György Levente, Horváth Péter, Imolay András, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Kovács 654 Áron , Kővári Péter Viktor, Lakatos Ádám, Mészáros Anna, Mikulás Zsófia, Nagy Nándor, Olosz Adél, Pap Benedek, Richlik Róbert, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Tiderenczl Dániel, Tóth Viktor, Török Zsombor Áron, Várkonyi Dorka, Velkey Vince, Weisz Máté.
4 points:	13 students.
3 points:	5 students.
2 points:	1 student.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2017