KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4853. (February 2017)

B. 4853. Let \(\displaystyle K\) denote the centre of the incircle of a circumscribed quadrilateral \(\displaystyle ABCD\). \(\displaystyle M\) is a point on the line segment \(\displaystyle AK\), and \(\displaystyle N\) is a point on the line segment \(\displaystyle CK\), such that \(\displaystyle 2 MBN\sphericalangle= ABC\sphericalangle\). Prove that \(\displaystyle 2 MDN\sphericalangle=ADC\sphericalangle\).

(5 pont)

Deadline expired on 10 March 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle K\) a beírt kör középpontja, ezért az \(\displaystyle AK\) és \(\displaystyle CK\) szakaszok szögfelezői a megfelelő \(\displaystyle BAD\) és \(\displaystyle BCD\) szögeknek.

Feltehetjük, hogy \(\displaystyle AB≥BC\). Forgassuk el a \(\displaystyle BCN\) háromszöget a \(\displaystyle B\) pont körül úgy, hogy \(\displaystyle C\) pont képe, \(\displaystyle C_1\) az \(\displaystyle AB\) szakaszra essen. A kapott háromszög \(\displaystyle BC_1 N_1\).

Hasonlóan forgassuk el a \(\displaystyle DCN\) háromszöget a \(\displaystyle D\) pont körül úgy, hogy \(\displaystyle C\) pont képe, \(\displaystyle C_2\) az \(\displaystyle AD\) szakaszra essen. A kapott háromszög \(\displaystyle DC_2 N_2\).

\(\displaystyle BN=BN_1\), \(\displaystyle MBN∡=\frac12 ABC∡=ABM∡+CBN∡=ABM∡+C_1 BN_1∡=MBN_1∡\). Ezért a \(\displaystyle MBN\) és \(\displaystyle MBN_1\) háromszögek egybevágóak, mert megegyeznek két oldalban és a közbezárt szögben, hiszen az elforgatás miatt \(\displaystyle BN=BN_1\). Így \(\displaystyle MN=MN_1\).

Mivel az érintőnégyszög szemközti oldalainak összege egyenlő: \(\displaystyle AB+CD=AD+BC\), vagyis \(\displaystyle AB-BC=AD-CD\), ezért \(\displaystyle AC_1= AB-BC=AD-CD=AC_2\).

Ebből következik, hogy \(\displaystyle C_1\) és \(\displaystyle C_2\) szimmetrikus a \(\displaystyle BAD∡\) \(\displaystyle AM\) szögfelezőjére. Az elforgatások miatt \(\displaystyle C_1 N_1=CN=C_2 N_2\) és \(\displaystyle BC_1 N_1∡=BCN∡=DCN∡=DC_2 N_2∡\), ezért \(\displaystyle N_1\) és \(\displaystyle N_2\) is szimmetrikus az \(\displaystyle AM\) szögfelezőre. Emiatt \(\displaystyle MN_1=MN_2\). Így a fentieket figyelembe véve beláttuk, hogy \(\displaystyle MN=MN_2\), ami azt jelenti, hogy \(\displaystyle DMN\) és \(\displaystyle DMN_2\) háromszögek egybevágóak, mert mindhárom oldaluk megegyezik. Ebből következik, hogy \(\displaystyle MDN∡=MDN_2∡=ADM∡+C_2 DN_2∡=ADM∡+CDN∡=ADC∡-MDN∡\), vagyis \(\displaystyle MDN∡=ADC∡-MDN∡\).

Rendezve: \(\displaystyle ADC∡=2\cdot MDN∡\), vagyis \(\displaystyle MDN∡=\frac12 ADC∡\). Ezt kellett belátnunk.


Statistics:

20 students sent a solution.
5 points:Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Csahók Tímea, Gáspár Attila, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kővári Péter Viktor, Márton Dénes, Schrettner Jakab, Szabó 417 Dávid, Szemerédi Levente, Tóth Viktor, Velkey Vince.
4 points:Szabó Kristóf, Szécsényi Nándor, Tiderenczl Dániel.
3 points:1 student.
0 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley