KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4861. Let \(\displaystyle r\) and \(\displaystyle R\), respectively, denote the radii of the inscribed and circumscribed circles of a right-angled triangle \(\displaystyle ABC\). Let \(\displaystyle CD\) be the altitude drawn to the hypotenuse \(\displaystyle AB\). Draw the square \(\displaystyle CEFG\) of side length \(\displaystyle CD\) that has vertex \(\displaystyle E\) on side \(\displaystyle AC\) and vertex \(\displaystyle G\) on side \(\displaystyle BC\). Let \(\displaystyle T\) and \(\displaystyle t\), respectively, denote the parts of the area of the square \(\displaystyle CEFG\) which lie inside and outside the triangle \(\displaystyle ABC\). Prove that

\(\displaystyle \frac{t}{T}=\frac{r}{2R}. \)

(B. Bíró, Eger)

(4 points)

Deadline expired on 10 April 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyenek az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalai a szokásos módon \(\displaystyle a=BC\), \(\displaystyle b=AC\) és \(\displaystyle c=AB\). A különböző sokszögek területét \(\displaystyle \mathrm{ter}(\dots)\) fogja jelölni.

Jól ismert, és a csúcsokból a beírt körhöz húzott érintő szakaszok egyenlőségéből leolvasható, hogy \(\displaystyle a+b-c=2r\). A Thalész-tétel megfordításából tudjuk, hogy \(\displaystyle c=2R\).

Legyen az \(\displaystyle AB\) szakasz metszéspontja az \(\displaystyle FG\), illetve az \(\displaystyle EF\) szakasszal \(\displaystyle P\), illetve \(\displaystyle Q\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszög hasonló a \(\displaystyle PQF\) háromszöghöz, mert a megfelelő oldalaik párhuzamosak. Legyen a hasonlóság aránya \(\displaystyle h=\frac{PQ}{AB}=\frac{QF}{BC}=\frac{FP}{CA}\); ekkor tehát

\(\displaystyle QF = h\cdot BC = ha, \quad FP = h\cdot CA = hb, \quad PQ = h\cdot AB = hc = 2hR. \)

Legyen \(\displaystyle m=CD\). A feltétel szerint \(\displaystyle CE=CG=CD=m\), ezért a \(\displaystyle C\) középpontú, \(\displaystyle m\) sugarú kör az \(\displaystyle E\), a \(\displaystyle G\), illetve a \(\displaystyle D\) pontban érinti az \(\displaystyle EF\), \(\displaystyle FG\) és \(\displaystyle AB\) egyeneseket. A \(\displaystyle CEQD\) és a \(\displaystyle CDPG\) négyszögek deltoidok, területüket felezi a \(\displaystyle CQ\), illetve a \(\displaystyle CP\) átlójuk.

Fejezzük ki a \(\displaystyle t\) és \(\displaystyle T\) területeket az oldalakkal, a \(\displaystyle h\) aránnyal és az \(\displaystyle m\) magassággal, valamint az \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle R\) sugarakkal a következőképpen:

\(\displaystyle t = \mathrm{ter}(FPQ) = \mathrm{ter}(CQF)+\mathrm{ter}(CFP)-\mathrm{ter}(CQP) = \frac{QF\cdot m}2 + \frac{FP\cdot m}2 - \frac{PQ\cdot m}2 = \frac{h(a+b-c)m}2 = hrm, \)

\(\displaystyle T = \mathrm{ter}(CEQPG) = \mathrm{ter}(CEQD)+\mathrm{ter}(CDPG) = 2\mathrm{ter}(CQD)+2\mathrm{ter}(CDP) = 2\mathrm{ter}(CQP) = PQ \cdot m = 2hRm. \)

A két terület hányadosa

\(\displaystyle \frac{t}{T} = \frac{hrm}{2hRm} = \frac{r}{2R}. \)


Statistics on problem B. 4861.
64 students sent a solution.
4 points:56 students.
3 points:3 students.
2 points:3 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley