Problem B. 4864. (March 2017)

B. 4864. A sack contains 100 red balls and 100 blue balls. Balls are drawn at random one by one, without replacement, until all 100 red balls are drawn out. Determine the expected value of the number of balls remaining in the sack.

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Úgy is képzelhetjük, hogy a 100-adik piros golyó kihúzása után a bent maradt golyókat is kihúzzuk. Ekkor a feladat kérdése az, hogy mi a 100-adik piros golyó kihúzása utáni húzások számának várható értéke.

Válasszunk ki egy kék golyót. Ha csak azt nézzük, hogy a 100 piros, és a kiválasztott kék golyó közül melyiket húzzuk ki utoljára, akkor természetesen mind a 101 golyó esetén egyforma, \(\displaystyle 1/101\) az esély. Vagyis annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott kék golyót a 100 piros golyó kihúzása után húzzuk ki, \(\displaystyle 1/101\). Ez mind a 100 kék golyóról elmondható, így a 100 piros golyó kihúzása után kihúzott (kék) golyók számának várható értéke \(\displaystyle 100\cdot \frac{1}{101}=\frac{100}{101}\) (hiszen egy összeg várható értéke az összeadandók várható értékének összege).

Tehát a feladat (eredeti megfogalmazása szerinti) kérdésére a válasz: a 100-adik piros golyó kihúzása után még a zsákban maradó golyók számának várható értéke \(\displaystyle 100/101\).

Statistics:

64 students sent a solution.
5 points:	Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Fitos Bence, Fuisz Gábor, Gáspár Attila, Janzer Orsolya Lili, Kálóczi Kristóf, Kerekes Anna, Kiss Gergely, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Kovács 654 Áron , Kőrösi Ákos, Nagy Nándor, Noszály Áron, Saár Patrik, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond, Simon Dániel Gábor, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szakály Marcell, Szemerédi Levente, Tóth 827 Balázs, Tóth Viktor, Török Tímea, Várkonyi Dorka, Weisz Máté, Zólomy Kristóf.
4 points:	Asztalos Ádám, Bán Dániel, Deák Bence, Kővári Péter Viktor, Mikulás Zsófia, Vári-Kakas Andor, Varsányi András, Velkey Vince.
3 points:	6 students.
2 points:	6 students.
1 point:	3 students.
0 point:	6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2017