KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4866. (March 2017)

B. 4866. Xavier and Yvette take turns in choosing

\(\displaystyle a)\) real numbers;

\(\displaystyle b)\) complex numbers.

Xavier starts, and the game ends after the 100th number. Let the numbers be \(\displaystyle a_1,\dots,a_{100}\). Yvette's goal is to make the sum \(\displaystyle a_1a_2+a_1a_3+\ldots +a_{99}a_{100}\) of the products of the \(\displaystyle \lbinom{100}2\) pairs of the numbers equal to 0, while Xavier is trying to avoid that. Who has got a winning strategy?

(6 pont)

Deadline expired on 10 April 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a 99. szám kimondása után \(\displaystyle a_1+a_2+\dots+a_{99}\ne 0\), akkor Y(vett) nyer, hiszen

\(\displaystyle a_{100} \cdot (a_1+a_2+\dots+a_{99})+(a_1a_2+a_1a_3+\dots+a_{98}a_{99})=0 \)\(\displaystyle {(*)}\)

egy elsőfokú egyenletet \(\displaystyle a_{100}\)-ra, vagyis, ha Y az egyenlet (egyértelműen létező) megoldását választja \(\displaystyle a_{100}\)-nak, akkor ő nyer. Ezek szerint X(avér) egyetlen esélye az, ha \(\displaystyle a_{99}\)-et úgy választja meg, hogy

\(\displaystyle a_1+a_2+\dots+a_{99}=0 \)\(\displaystyle {(**)}\)

legyen. Ekkor a kettős szorzatok összege Y utolsó számától (vagyis \(\displaystyle a_{100}\) értékétől) függetlenül

\(\displaystyle a_1a_2+a_1a_3+\dots+a_{98}a_{99}=\frac{1}{2}(a_1+a_2+\dots+a_{99})^2-(a_1^2+a_2^2+\dots+a_{99}^2)=\)

\(\displaystyle =-\frac12(a_1^2+a_2^2+\dots+a_{99}^2)\)

lesz.

a) Ha a játékot valós számokkal játsszák, akkor X el tudja érni, hogy ez ne legyen 0. Arra kell csak figyelnie, hogy legalább egyszer 0-tól különböző számot válasszon (például \(\displaystyle a_1\ne 0\) legyen), majd a legutolsó általa választott szám

\(\displaystyle a_{99}=-(a_1+a_2+\dots+a_{98})\)

legyen. így a kettős szorzatok összege biztosan negatív lesz.

b) Tegyük most fel, hogy a játékot komplex számokkal játsszák. Továbbra is igaz, hogy X csak úgy nyerhet, ha \(\displaystyle a_{99}\)-et úgy választja meg, hogy a (**) egyenlet teljesüljön, és ebben az esetben a kettős szorzatok összege \(\displaystyle -\frac12(a_1^2+a_2^2+\dots+a_{99}^2)\) lesz. Y úgy tudja elérni, hogy ez 0 legyen, ha \(\displaystyle a_{98}\)-ra teljesül az alábbi másodfokú egyenlet:

\(\displaystyle a_1^2+a_2^2+\dots+a_{97}^2+a_{98}^2+(a_1+a_2+\dots+a_{98})^2=0.\)

Mivel ennek a másodfokú egyenletnek biztosan létezik (komplex) gyöke, így Y el tudja érni, hogy biztosan nyerjen: az \(\displaystyle a_{98}\) számot úgy választja meg, hogy az ennek a másodfokú egyenletnek a(z egyik) gyöke legyen. Ha ezután X utolsó számára teljesül (**), akkor mindegy, hogy mi Y utolsó száma, mindenképpen 0 lesz a kettős szorzatok összege. Ha viszont nem teljesül (**), akkor \(\displaystyle a_{100}\)-at (*) szerint megválasztva Y eléri, hogy a kettős szorzatok összege 0 legyen.


Statistics:

44 students sent a solution.
6 points:Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Csiszár Zoltán, Daróczi Sándor, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Fraknói Ádám, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Kőrösi Ákos, Kővári Péter Viktor, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Saár Patrik, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szakály Marcell, Tóth 827 Balázs, Tóth Viktor, Tubak Dániel, Vári-Kakas Andor, Várkonyi Dorka, Weisz Máté.
5 points:Bán Dániel, Fuisz Gábor.
4 points:1 student.
3 points:3 students.
2 points:1 student.
1 point:2 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley