A B. 4867. feladat (2017. április)

B. 4867. Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\) valós számok összege \(\displaystyle 0\). Legyen \(\displaystyle M=ab+bc+cd\) és \(\displaystyle N=ac+ad+bd\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle 20M+17N\) és a \(\displaystyle 20N+17M\) összegek közül legalább az egyik nem pozitív.

Bolgár feladat

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A \(\displaystyle 20M+17N\) és \(\displaystyle 20N+17M\) számok összege

\(\displaystyle 37(M+N)=37(ab+ac+ad+bc+bd+cd)=\)

\(\displaystyle =37\cdot \frac{(a+b+c+d)^2-(a^2+b^2+c^2+d^2)}{2}=-\frac{37}{2}(a^2+b^2+c^2+d^2)\leq 0,\)

így legalább az egyikük nem pozitív.

Statisztika:

84 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	78 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2017. áprilisi matematika feladatai