A B. 4868. feladat (2017. április)

B. 4868. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle AC<AB\), és az \(\displaystyle AF\) súlyvonal az \(\displaystyle A\)-nál lévő szöget \(\displaystyle 1:2\) arányban osztja. A \(\displaystyle B\)-ben \(\displaystyle AB\)-re állított merőleges az \(\displaystyle AF\) egyenest \(\displaystyle D\)-ben metszi. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AD=2AC\).

(3 pont)

A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Legyen \(\displaystyle A\) tükörképe \(\displaystyle F\)-re \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle AD\) felezéspontja \(\displaystyle T\), \(\displaystyle FAB\angle=\mu\), s így \(\displaystyle FAC\angle=2\mu\). Mivel \(\displaystyle T\) a \(\displaystyle BDA\) derékszögű háromszög Thalész-körének középpontja, így \(\displaystyle BAT\triangle\) egyenlőszárú, \(\displaystyle TBA\angle=\mu\), amiért \(\displaystyle BTA'\angle=2\mu\). A tükrözés miatt \(\displaystyle BA'T\angle=2\mu\), ezért \(\displaystyle BA'T\triangle\) egyenlőszárú, \(\displaystyle A'B=BT\). Ismét a tükrözés, illetve a Thalész-tétel miatt \(\displaystyle AC=A'B=BT=AD/2\).

Statisztika:

53 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Beke Csongor, Besenyi Tibor, Csiszár Zoltán, Csuha Boglárka, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Dömsödi Bálint, Fekete Balázs Attila, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Garamvölgyi István Attila, Geretovszky Anna, Győrffy Ágoston, Horváth Péter, Jánosik Áron, Kerekes Anna, Kiss Roberta Zsófia, Kocsis Júlia, Kőrösi Ákos, Lajkó Áron, Lakatos Ádám, Lukács Lilla Réka, Márton Dénes, Mikulás Zsófia, Noszály Áron, Olosz Adél, Páli Petra, Paulovics Péter, Póta Balázs, Richlik Róbert, Saár Patrik, Sáfi Lilla, Scheidler Barnabás, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szécsényi Nándor, Szemerédi Levente, Szepesi Zoltán, Tanács Viktória, Tiderenczl Dániel, Tóth 111 Máté , Tran 444 Ádám, Vári-Kakas Andor, Várkonyi Dorka, Varsányi András, Williams Hajna, Zólomy Kristóf, Zsigri Bálint.
2 pontot kapott:	Török Ádám.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. áprilisi matematika feladatai