KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4870. (April 2017)

B. 4870. The diagonals of a convex quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) intersect at point \(\displaystyle E\). Prove that the centres of the Feuerbach circles of the triangles \(\displaystyle ABE\), \(\displaystyle BCE\), \(\displaystyle CDE\) and \(\displaystyle DAE\) either form a parallelogram or are collinear.

(Proposed by Sz. Miklós, Herceghalom)

(5 pont)

Deadline expired on 10 May 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle ABE\), \(\displaystyle BCE\), \(\displaystyle CDE\) és \(\displaystyle DAE\) háromszögek Feuerbach-köreinek középpontjait rendre \(\displaystyle F_A\), \(\displaystyle F_B\), \(\displaystyle F_C\), illetve \(\displaystyle F_D\), ugyanezen háromszögek körülírt köreinek középpontjait rendre \(\displaystyle K_A\), \(\displaystyle K_B\), \(\displaystyle K_C\), illetve \(\displaystyle K_D\), súlypontjaikat \(\displaystyle S_A\), \(\displaystyle S_B\), \(\displaystyle S_C\), illetve \(\displaystyle S_D\).

0. állítás: Jól ismert, hogy ha egy háromszög súlypontja \(\displaystyle S\), a körülírt kör középpontja \(\displaystyle K\) és a Feuerbach-kör középpontja \(\displaystyle F\), akkor \(\displaystyle \overrightarrow{SK}=-2\overrightarrow{SF}\), avagy \(\displaystyle \overrightarrow{FK}=3\overrightarrow{FS}\).

Ennek egy bizonyítása: legyenek a háromszög csúcsai \(\displaystyle P,Q,R\), a szemközti oldalak felezőpontjai rendre \(\displaystyle P_1,Q_1,R_1\). A Feuerbach-kör a \(\displaystyle P_1Q_1R_1\) háromszög köré írt kör. Mivel az \(\displaystyle S\) pont harmadolja a súlyvonalakat, az \(\displaystyle S\) középpontú \(\displaystyle (-\tfrac12)\)-szeres kicsinyítés a \(\displaystyle P,Q,R\) pontokat a \(\displaystyle P_1,Q_1,R_1\) pontokba, a \(\displaystyle PQR\) kör \(\displaystyle K\) középpontját a \(\displaystyle P_1Q_1R_1\) kör \(\displaystyle F\) középpontjába viszi. Tehát \(\displaystyle \overrightarrow{SF}=-\frac12\overrightarrow{SK}=\frac12\overrightarrow{KS}\).

1. állítás: A \(\displaystyle K_AK_BK_CK_D\) négyszög paralelogramma, \(\displaystyle \overrightarrow{K_AK_B}=\overrightarrow{K_DK_C}\).

A \(\displaystyle K_A,K_B\) pontok az \(\displaystyle EB\), a \(\displaystyle K_C,K_D\) pontok az \(\displaystyle ED\) szakasz felező merőlegesére esnek; ez a két egyenes párhuzamos, mert mindkettő merőleges a \(\displaystyle BD\) egyenesre. Hasonlóan, a \(\displaystyle K_A,K_D\) pontok az \(\displaystyle EA\), az \(\displaystyle K_B,K_C\) pontok az \(\displaystyle EC\) szakasz felező merőlegesére esnek, ez a kettő is párhuzamos, mert merőlegesek \(\displaystyle AC\)-re. A \(\displaystyle K_A,K_B,K_C,K_D\) pontok tehát két párhuzamos egyenespár metszéspontjai, egy paralelogramma csúcsai.

2. állítás: Az \(\displaystyle S_AS_BS_CS_D\) négyszög is paralelogramma, \(\displaystyle \overrightarrow{S_AS_B}=\overrightarrow{S_DS_C}\).

Legyen \(\displaystyle AE\) felezőpontja \(\displaystyle M\), \(\displaystyle EC\) felezőpontja \(\displaystyle N\). Az \(\displaystyle S_A,S_B,S_C,S_D\) súlypontok a \(\displaystyle BM\), \(\displaystyle BN\), \(\displaystyle DN\), \(\displaystyle DM\) súlyvonalak \(\displaystyle M\)-hez, illetve \(\displaystyle N\)-hez közelebbi harmadolópontjai, ezért

\(\displaystyle \overrightarrow{S_AS_B} =\tfrac23 \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{S_DS_C}. \)

3. állítás: \(\displaystyle \overrightarrow{F_AF_B}=\overrightarrow{F_DF_C}\).

Az \(\displaystyle \overrightarrow{F_AF_B}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{F_DF_C}\) vektorokat az \(\displaystyle \overrightarrow{S_AS_B}\), \(\displaystyle \overrightarrow{S_DS_C}\), \(\displaystyle \overrightarrow{K_AK_B}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{K_DK_C}\) vektorokkal fejezzük ki:

\(\displaystyle \overrightarrow{F_AF_B} = \overrightarrow{F_AS_A} + \overrightarrow{S_AS_B} + \overrightarrow{S_BF_B} \)\(\displaystyle (1) \)

és

\(\displaystyle \overrightarrow{F_AF_B} = \overrightarrow{F_AK_A} + \overrightarrow{K_AK_B} + \overrightarrow{K_BF_B}. \)\(\displaystyle (2) \)

A \(\displaystyle 0\). állítás szerint \(\displaystyle 3\overrightarrow{S_AF_A}=\overrightarrow{K_AF_A}\) és \(\displaystyle 3\overrightarrow{S_BF_B}=\overrightarrow{K_BF_B}\). Az (1) 3-szorosából kivonva a (2)-t:

\(\displaystyle 2\overrightarrow{F_AF_B} = 3(\overrightarrow{F_AS_A} + \overrightarrow{S_AS_B} + \overrightarrow{S_BF_B}) -(\overrightarrow{F_AK_A} + \overrightarrow{K_AK_B} + \overrightarrow{K_BF_B}) = \)

\(\displaystyle = 3\overrightarrow{S_AS_B} - \overrightarrow{K_AK_B} + (3\overrightarrow{F_AS_A}-\overrightarrow{F_AK_A}) - (3\overrightarrow{F_BS_B}-\overrightarrow{F_BK_B}) = 3\overrightarrow{S_AS_B} - \overrightarrow{K_AK_B}. \)

Hasonlóan kapjuk, hogy

\(\displaystyle 2\overrightarrow{F_DF_C} = 3\overrightarrow{S_DS_C} - \overrightarrow{K_DK_C}. \)

Az 1. és 2. állítások miatt tehát

\(\displaystyle \overrightarrow{F_AF_B} = \tfrac32\overrightarrow{S_AS_B} - \tfrac12\overrightarrow{K_AK_B} = \tfrac32\overrightarrow{S_DS_C} - \tfrac12\overrightarrow{K_DK_C} = \overrightarrow{F_DF_C}. \)

A feladat állítása következik a 3. állításból.


Statistics:

40 students sent a solution.
5 points:Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Csiszár Zoltán, Döbröntei Dávid Bence, Fuisz Gábor, Fülöp Anna Tácia, Gáspár Attila, Hervay Bence, Horváth Péter, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kővári Péter Viktor, Lajkó Áron, Marshall Tamás, Márton Dénes, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Olosz Adél, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szemerédi Levente, Tiderenczl Dániel, Tiszay Ádám, Tóth Viktor, Weisz Máté, Zólomy Kristóf.
4 points:Kovács 654 Áron , Lukács Lilla Réka, Mikulás Zsófia.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley