Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4872. (April 2017)

B. 4872. Let \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) and \(\displaystyle r\) denote three distinct primes, and let \(\displaystyle n=pq^2r^3\). Show that

\(\displaystyle (n,1)+(n,2)+\dots+(n,n) =qr^2(2p-1)(3q-2)(4r-3), \)

where \(\displaystyle (a,b)\) denotes the greatest common divisor of \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\).

(Proposed by J. Szoldatics, Budapest)

(6 pont)

Deadline expired on May 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle f(n)=(n,1)+(n,2)+\dots+(n,n)\). Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle f\) úgynevezett multiplikatív számelméleti függvény, ami azt jelenti, hogy ha \(\displaystyle (a,b)=1\), akkor \(\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)\). Ha \(\displaystyle (a,b)=1\), akkor minden \(\displaystyle i\)-re \(\displaystyle (ab,i)=(a,i)(b,i)\). A kínai maradéktétel szerint minden \(\displaystyle 0\leq i\leq a-1\) és \(\displaystyle 0\leq j\leq b-1\) számpárra pontosan egy olyan \(\displaystyle n(i,j)\) szám van 1 és \(\displaystyle ab\) között, amelynek \(\displaystyle a\)-as maradéka éppen \(\displaystyle i\), \(\displaystyle b\)-es maradéka pedig \(\displaystyle j\). Az eddigiek alapján:

\(\displaystyle f(ab)=\sum\limits_{i=1}^{ab}(ab,i)=\sum\limits_{i=0}^{a-1}\sum\limits_{j=0}^{b-1}(ab,n(i,j))=\sum\limits_{i=0}^{a-1}\sum\limits_{j=0}^{b-1}(a,n(i,j))(b,n(i,j))=\)

\(\displaystyle =\sum\limits_{i=0}^{a-1}\sum\limits_{j=0}^{b-1}(a,i)(b,j)=\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^{b}(a,i)(b,j)=\sum\limits_{i=1}^{a}(a,i)\sum\limits_{j=1}^{b}(b,j)=f(a)f(b).\)

Tehát \(\displaystyle f\) valóban multiplikatív.

Ha \(\displaystyle p\) prímszám, akkor \(\displaystyle f(p)=(p,1)+(p,2)+\dots+(p,p)=p\cdot 1 + 1\cdot (p-1)=2p-1\), hiszen \(\displaystyle (p,p)=1\), a többi tag pedig 1.

Ha \(\displaystyle q\) prímszám, akkor \(\displaystyle f(q^2)=(q^2,1)+(q^2,2)+\dots+(q^2,q^2)=q^2\cdot 1+q\cdot (q-1)+1\cdot (q^2-q)=3q^2-2q=q(3q-2)\), hiszen \(\displaystyle (q^2,q^2)=q^2\); \(\displaystyle (q^2,q)=(q^2,2q)=\dots=(q^2,q(q-1))=q\); a többi tag pedig 1.

Ehhez hasonlóan, ha \(\displaystyle r\) prímszám, akkor \(\displaystyle f(r^3)=r^3\cdot 1+r^2\cdot (r-1)+r\cdot (r^2-r)+1\cdot (r^3-r^2)=4r^3-3r^2=r^2(4r-3)\).

Ebből már adódik az állítás.


Statistics:

40 students sent a solution.
6 points:Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Daróczi Sándor, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Imolay András, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Marshall Tamás, Márton Dénes, Mikulás Zsófia, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Noszály Áron, Saár Patrik, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szakály Marcell, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Tóth Viktor, Weisz Máté.
5 points:Kővári Péter Viktor, Tiszay Ádám, Zólomy Kristóf.
4 points:3 students.
2 points:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2017