KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4872. (April 2017)

B. 4872. Let \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) and \(\displaystyle r\) denote three distinct primes, and let \(\displaystyle n=pq^2r^3\). Show that

\(\displaystyle (n,1)+(n,2)+\dots+(n,n) =qr^2(2p-1)(3q-2)(4r-3), \)

where \(\displaystyle (a,b)\) denotes the greatest common divisor of \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\).

(Proposed by J. Szoldatics, Budapest)

(6 pont)

Deadline expired on 10 May 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle f(n)=(n,1)+(n,2)+\dots+(n,n)\). Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle f\) úgynevezett multiplikatív számelméleti függvény, ami azt jelenti, hogy ha \(\displaystyle (a,b)=1\), akkor \(\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)\). Ha \(\displaystyle (a,b)=1\), akkor minden \(\displaystyle i\)-re \(\displaystyle (ab,i)=(a,i)(b,i)\). A kínai maradéktétel szerint minden \(\displaystyle 0\leq i\leq a-1\) és \(\displaystyle 0\leq j\leq b-1\) számpárra pontosan egy olyan \(\displaystyle n(i,j)\) szám van 1 és \(\displaystyle ab\) között, amelynek \(\displaystyle a\)-as maradéka éppen \(\displaystyle i\), \(\displaystyle b\)-es maradéka pedig \(\displaystyle j\). Az eddigiek alapján:

\(\displaystyle f(ab)=\sum\limits_{i=1}^{ab}(ab,i)=\sum\limits_{i=0}^{a-1}\sum\limits_{j=0}^{b-1}(ab,n(i,j))=\sum\limits_{i=0}^{a-1}\sum\limits_{j=0}^{b-1}(a,n(i,j))(b,n(i,j))=\)

\(\displaystyle =\sum\limits_{i=0}^{a-1}\sum\limits_{j=0}^{b-1}(a,i)(b,j)=\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^{b}(a,i)(b,j)=\sum\limits_{i=1}^{a}(a,i)\sum\limits_{j=1}^{b}(b,j)=f(a)f(b).\)

Tehát \(\displaystyle f\) valóban multiplikatív.

Ha \(\displaystyle p\) prímszám, akkor \(\displaystyle f(p)=(p,1)+(p,2)+\dots+(p,p)=p\cdot 1 + 1\cdot (p-1)=2p-1\), hiszen \(\displaystyle (p,p)=1\), a többi tag pedig 1.

Ha \(\displaystyle q\) prímszám, akkor \(\displaystyle f(q^2)=(q^2,1)+(q^2,2)+\dots+(q^2,q^2)=q^2\cdot 1+q\cdot (q-1)+1\cdot (q^2-q)=3q^2-2q=q(3q-2)\), hiszen \(\displaystyle (q^2,q^2)=q^2\); \(\displaystyle (q^2,q)=(q^2,2q)=\dots=(q^2,q(q-1))=q\); a többi tag pedig 1.

Ehhez hasonlóan, ha \(\displaystyle r\) prímszám, akkor \(\displaystyle f(r^3)=r^3\cdot 1+r^2\cdot (r-1)+r\cdot (r^2-r)+1\cdot (r^3-r^2)=4r^3-3r^2=r^2(4r-3)\).

Ebből már adódik az állítás.


Statistics:

40 students sent a solution.
6 points:Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Daróczi Sándor, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Imolay András, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Marshall Tamás, Márton Dénes, Mikulás Zsófia, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Noszály Áron, Saár Patrik, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szakály Marcell, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Tóth Viktor, Weisz Máté.
5 points:Kővári Péter Viktor, Tiszay Ádám, Zólomy Kristóf.
4 points:3 students.
2 points:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley