Problem B. 4874. (April 2017)

B. 4874. Let \(\displaystyle \|x\|\) denote the distance of the real number \(\displaystyle x\) from the closest integer. Let \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n\) be positive integers. Prove that there exists a real number \(\displaystyle x\) such that \(\displaystyle \|a_ix\|\ge \frac{1}{2n}\) for all \(\displaystyle 1\le i\le n\).

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle ||a_ix||<\frac{1}{2n}\) egyenlőtlenség pontosan azokra az \(\displaystyle x\) valós számokra teljesül, amelyekhez található olyan \(\displaystyle m\) egész szám, amelyre \(\displaystyle m-\frac{1}{2n}<a_ix<m+\frac{1}{2n}\), vagyis

\(\displaystyle \frac{m}{a_i}-\frac{1}{2na_i}<x<\frac{m}{a_i}+\frac{1}{2na_i}.\)

Olyan \(\displaystyle x\)-et keresünk tehát, amely az \(\displaystyle I_{m,i}=\left( \frac{m}{a_i}-\frac{1}{2na_i},\frac{m}{a_i}+\frac{1}{2na_i} \right)\) intervallumok egyikébe sem esik bele. Keressünk megfelelő \(\displaystyle x\)-et a \(\displaystyle [0,1]\) intervallumban. Rögzített \(\displaystyle i\) esetén az \(\displaystyle I_{m,i}\) intervallumok közül a \(\displaystyle [0,1]\) intervallumot \(\displaystyle a_i+1\) darab metszi: \(\displaystyle I_{0,i}\)-nek és \(\displaystyle I_{a_i,i}\)-nek a felét tartalmazza \(\displaystyle [0,1]\), a többit teljes egészében. így minden \(\displaystyle i\)-re teljesül, hogy az \(\displaystyle I_{m,i}\) intervallumuk \(\displaystyle [0,1]\)-be eső részének összhossza éppen \(\displaystyle \frac{1}{2na_i}+(a_i-1)\cdot \frac{1}{na_i}+\frac{1}{2na_i}=\frac{1}{n}\). Tehát minden \(\displaystyle 1\leq i\leq n\) esetén a \(\displaystyle [0,1]\)-be eső ,,tiltott'' részintervallumok összhossza éppen \(\displaystyle \frac{1}{n}\). összességében tehát a tiltott intervallumok összhossza (minden \(\displaystyle i\)-t figyelembe véve) éppen 1. Azonban \(\displaystyle \left[0,\frac{1}{2n\max(a_1,a_2,\dots,a_n)} \right)\)-et minden \(\displaystyle i\)-re tartalmazza egy tiltott intervallum, így a tiltott intervallumok uniójának összhossza valójában szigorúan kisebb, mint 1, ha \(\displaystyle n\geq 2\). Ezért biztosan választható olyan \(\displaystyle x\in[0,1]\), amely egyik tiltott intervallumban sincsen benne, és erre az \(\displaystyle x\)-re \(\displaystyle ||a_ix||\geq \frac{1}{2n}\) minden \(\displaystyle 1\leq i\leq n\) mellett teljesül.

Végül, ha \(\displaystyle n=1\), akkor \(\displaystyle x=\frac{1}{2a_i}\) megfelelő választás.

Statistics:

23 students sent a solution.
5 points:	Beke Csongor, Borbényi Márton, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Saár Patrik, Schrettner Jakab, Szabó 417 Dávid, Tóth Viktor, Weisz Máté.
4 points:	Csahók Tímea, Szabó Kristóf, Szemerédi Levente, Vári-Kakas Andor.
3 points:	3 students.
2 points:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2017