Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4878. (May 2017)

B. 4878. What is the maximum possible value of the sum \(\displaystyle PA+PB+PC+PD\) if \(\displaystyle P\) is a point of the unit square \(\displaystyle ABCD\)?

(4 pont)

Deadline expired on June 12, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Felhasználjuk a következő ismert állítást: Ha \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle XYZ\triangle\) egy (nem feltétlen belső) pontja, akkor \(\displaystyle PX+PY\le ZX+ZY\), és egyenlőség csak \(\displaystyle P=Z\) esetben áll. (Lásd például Horvay-Reiman: Geometriai feladatok gyűjteménye I, 172. feladat.)

Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy \(\displaystyle PA\geq PB\). A \(\displaystyle P\)-n keresztül \(\displaystyle AB\)-vel húzott \(\displaystyle e\) párhuzamos messe \(\displaystyle BC\)-t \(\displaystyle E\)-ben, és legyen \(\displaystyle A\) tükörképe \(\displaystyle e\)-re \(\displaystyle A'\). Alkalmazzuk a fenti segédállítást \(\displaystyle A'BE\triangle\)-ben \(\displaystyle P\) pontra, így a tükrözés miatt \(\displaystyle PA+PB=PA'+PB\leq EA'+EB= EA+EB\), és egyenlőség csak \(\displaystyle E=P\)-re áll. Mivel a \(\displaystyle CD\) oldalra hasonlóan indokolhatunk, így kaptuk, hogy \(\displaystyle PA+PB+PC+PD\le EA+EB+EC+ED\), és egyenlőség csak \(\displaystyle P=E\) esetén állhat.

Ismét az általánosság megszorítása nélkül \(\displaystyle EC\ge EB\). Mivel \(\displaystyle E\) rajta van a \(\displaystyle BC\) oldalon, így \(\displaystyle EB+EC=BB+BC\). \(\displaystyle EA+ED\leq BA+BD\) pedig pontosan ugyanúgy igazolható, ahogy \(\displaystyle PA+PB\leq EA+EB\)-t megmutattuk. Tehát \(\displaystyle EA+EB+EC+ED\leq BA+BB+BC+BD\), és egyenlőség csak akkor áll, ha \(\displaystyle E=B\).

Ezzel megmutattuk, hogy \(\displaystyle PA+PB+PC+PD\) pontosan akkor maximális, ha \(\displaystyle P\) valamelyik csúcs, a maximum értéke pedig \(\displaystyle 2+\sqrt 2\).


Statistics:

58 students sent a solution.
4 points:Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Csiszár Zoltán, Daróczi Sándor, Deák Bence, Fekete Balázs Attila, Fülöp Anna Tácia, Gáspár Attila, Hervay Bence, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kiss Gergely, Kocsis Anett, Kővári Péter Viktor, Lakatos Ádám, Márton Dénes, Mikulás Zsófia, Németh 123 Balázs, Noszály Áron, Olosz Adél, Póta Balázs, Scheidler Barnabás, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond, Simon Dániel Gábor, Soós 314 Máté, Sulán Ádám, Szabó 417 Dávid, Szakály Marcell, Tiderenczl Dániel, Tóth-Rohonyi Iván, Török Tímea, Török Zsombor Áron, Velkey Vince, Zsigri Bálint.
3 points:Csahók Tímea, Füredi Erik Benjámin, Kovács 654 Áron , Szabó Kristóf, Szemerédi Levente, Szőnyi Laura, Varsányi András.
2 points:2 students.
1 point:10 students.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2017