KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4879. (May 2017)

B. 4879. \(\displaystyle a)\) Is it true that for any irrational number \(\displaystyle a\) there exists an irrational number \(\displaystyle x\) such that \(\displaystyle a+x\) is rational and \(\displaystyle ax\) is irrational?

\(\displaystyle b)\) Is it true that for any irrational number \(\displaystyle a\) there exists an irrational number \(\displaystyle y\) such that \(\displaystyle a+y\) is irrational and \(\displaystyle ay\) is rational?

Proposed by S. Róka, Nyíregyháza

(4 pont)

Deadline expired on 12 June 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle x=1-a\) és \(\displaystyle x=2-a\) számok közül az egyik biztosan megfelelő. Mivel \(\displaystyle a\) irracionális, ezért \(\displaystyle 1-a\) és \(\displaystyle 2-a\) is irracionálisak, továbbá az \(\displaystyle a+x\) összeg vagy 1, vagy 2, így mindkét esetben racionális. Ha \(\displaystyle a(1-a)\) és \(\displaystyle a(2-a)\) is racionális lenne, akkor a különbségüknek, vagyis \(\displaystyle a(2-a)-a(1-a)=a\)-nak is racionálisnak kellene lennie, de az \(\displaystyle a\) szám irracionális. Ezért az \(\displaystyle a(1-a)\) és \(\displaystyle a(2-a)\) számok közül legalább az egyik irracionális, és így \(\displaystyle x=1-a\) vagy \(\displaystyle x=2-a\) megfelelő választás.

b) Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle y=\frac{1}{a}\) és \(\displaystyle y=\frac{2}{a}\) számok közül az egyik biztosan megfelelő. Az \(\displaystyle \frac{1}{a}\) és \(\displaystyle \frac{2}{a}\) számok irracionálisak, hiszen egy irracionális szám reciproka (és annak 2-szerese) is irracionális. Az \(\displaystyle ay\) szorzat értéke vagy 1, vagy 2, így mindkét esetben racionális. Ha \(\displaystyle a+\frac{1}{a}\) és \(\displaystyle a+\frac{2}{a}\) is racionális lenne, akkor a különbségüknek, vagyis \(\displaystyle \left(a+\frac{2}{a}\right)-\left(a+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{a}\)-nak is racionálisnak kellene lennie, de az \(\displaystyle \frac{1}{a}\) szám irracionális. Ezért az \(\displaystyle a+\frac{1}{a}\) és \(\displaystyle a+\frac{2}{a}\) számok közül legalább az egyik irracionális, és így \(\displaystyle y=\frac{1}{a}\) vagy \(\displaystyle y=\frac{2}{a}\) megfelelő választás.


Statistics:

60 students sent a solution.
4 points:Alexy Milán, Asztalos Ádám, Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Csiszár Zoltán, Daróczi Sándor, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Fuisz Gábor, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Imolay András, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Anett, Kocsis Júlia, Kovács 654 Áron , Kőrösi Ákos, Kővári Péter Viktor, Mikulás Zsófia, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Noszály Áron, Olosz Adél, Póta Balázs, Saár Patrik, Scheidler Barnabás, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond, Simon Dániel Gábor, Sulán Ádám, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Tiszay Ádám, Tóth 827 Balázs, Tóth Viktor, Török Ádám, Török Tímea, Vári-Kakas Andor, Várkonyi Dorka, Varsányi András, Weisz Máté, Zólomy Kristóf, Zsigri Bálint.
3 points:Lakatos Ádám, Tiderenczl Dániel.
2 points:3 students.
1 point:1 student.
0 point:6 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley