A B. 4879. feladat (2017. május)

B. 4879. \(\displaystyle a)\) Igaz-e, hogy bármely \(\displaystyle a\) irracionális számhoz van olyan \(\displaystyle x\) irracionális szám, amelyre \(\displaystyle a+x\) racionális és \(\displaystyle ax\) irracionális?

\(\displaystyle b)\) Igaz-e, hogy bármely \(\displaystyle a\) irracionális számhoz van olyan \(\displaystyle y\) irracionális szám, amelyre \(\displaystyle a+y\) irracionális és \(\displaystyle ay\) racionális?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle x=1-a\) és \(\displaystyle x=2-a\) számok közül az egyik biztosan megfelelő. Mivel \(\displaystyle a\) irracionális, ezért \(\displaystyle 1-a\) és \(\displaystyle 2-a\) is irracionálisak, továbbá az \(\displaystyle a+x\) összeg vagy 1, vagy 2, így mindkét esetben racionális. Ha \(\displaystyle a(1-a)\) és \(\displaystyle a(2-a)\) is racionális lenne, akkor a különbségüknek, vagyis \(\displaystyle a(2-a)-a(1-a)=a\)-nak is racionálisnak kellene lennie, de az \(\displaystyle a\) szám irracionális. Ezért az \(\displaystyle a(1-a)\) és \(\displaystyle a(2-a)\) számok közül legalább az egyik irracionális, és így \(\displaystyle x=1-a\) vagy \(\displaystyle x=2-a\) megfelelő választás.

b) Megmutatjuk, hogy az \(\displaystyle y=\frac{1}{a}\) és \(\displaystyle y=\frac{2}{a}\) számok közül az egyik biztosan megfelelő. Az \(\displaystyle \frac{1}{a}\) és \(\displaystyle \frac{2}{a}\) számok irracionálisak, hiszen egy irracionális szám reciproka (és annak 2-szerese) is irracionális. Az \(\displaystyle ay\) szorzat értéke vagy 1, vagy 2, így mindkét esetben racionális. Ha \(\displaystyle a+\frac{1}{a}\) és \(\displaystyle a+\frac{2}{a}\) is racionális lenne, akkor a különbségüknek, vagyis \(\displaystyle \left(a+\frac{2}{a}\right)-\left(a+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{a}\)-nak is racionálisnak kellene lennie, de az \(\displaystyle \frac{1}{a}\) szám irracionális. Ezért az \(\displaystyle a+\frac{1}{a}\) és \(\displaystyle a+\frac{2}{a}\) számok közül legalább az egyik irracionális, és így \(\displaystyle y=\frac{1}{a}\) vagy \(\displaystyle y=\frac{2}{a}\) megfelelő választás.

Statisztika:

60 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Alexy Milán, Asztalos Ádám, Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Csiszár Zoltán, Daróczi Sándor, Deák Bence, Döbröntei Dávid Bence, Fuisz Gábor, Fülöp Anna Tácia, Füredi Erik Benjámin, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Imolay András, Jánosik Áron, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Anett, Kocsis Júlia, Kovács 654 Áron , Kőrösi Ákos, Kővári Péter Viktor, Mikulás Zsófia, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Noszály Áron, Olosz Adél, Póta Balázs, Saár Patrik, Scheidler Barnabás, Schrettner Jakab, Sebestyén Pál Botond, Simon Dániel Gábor, Sulán Ádám, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Tiszay Ádám, Tóth 827 Balázs, Tóth Viktor, Török Ádám, Török Tímea, Vári-Kakas Andor, Várkonyi Dorka, Varsányi András, Weisz Máté, Zólomy Kristóf, Zsigri Bálint.
3 pontot kapott:	Lakatos Ádám, Tiderenczl Dániel.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2017. májusi matematika feladatai