A B. 4888. feladat (2017. szeptember)

B. 4888. Sebestyén a harmadiktól kezdve minden születésnapjára olyan háromszög alapú hasáb alakú tortát kap, amelynek a felső három csúcsában van egy-egy gyertya, és a tetején még annyi, hogy az életkorával megegyező számú gyertya legyen összesen a tortán úgy, hogy semelyik három nem esik egy egyenesbe. Sebestyén olyan, háromszög alakú szeletekre szeretné vágni a tortát, melyeknek a csúcsait a gyertyák helye adja (a háromszögek belseje nem tartalmazhat gyertyát). Hány szeletre oszthatja a tortát a \(\displaystyle k\)-adik születésnapján?

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle t\) a szeletek száma. A szeletek által meghatározott \(\displaystyle t\) darab háromszög belső szögeinek összege \(\displaystyle t\cdot 180^\circ\). Most ugyanezt megszámoljuk másképpen is. A \(\displaystyle k\) darab gyertya közül 3 van a torta csúcsaiban, az ezeknél kialakuló szögek összege \(\displaystyle 180^\circ\). A többi \(\displaystyle k-3\) gyertya a tortát alkotó háromszög belsejében van, ezért ezek mindegyike körül a kialakuló szögek összege \(\displaystyle 360^\circ\). Vagyis \(\displaystyle t\cdot 180^\circ= 180^\circ+(k-3)\cdot 360^\circ\), amiből \(\displaystyle t=2k-5\). Tehát a szeletek száma csak \(\displaystyle 2k-5\) lehet. Meg kell még mutatnunk, hogy ennyi valóban lehet is.

Ezt például a következő módon valósíthatjuk meg. Kezdetben egy nagy háromszög alakú szeletünk van, maga az egész torta. Ha van olyan gyertya, amelyik egy szelet belsejében van (kezdetben ez pontosan \(\displaystyle k>3\) esetén fog teljesülni), akkor válasszunk ki egy ilyet, és azt a szeletet, amelyiknek a belsejében ez a gyertya van vágjuk fel három kisebb szeletre úgy, hogy a vágást alkotó szakaszok ezt a gyertyát kötik össze a szelet csúcsaival. így az egyik szeletet három kisebb szeletre vágtuk, és már csak 1-gyel kevesebb olyan gyertya van, ami nem szelet csúcsában található. Ezt a lépést ismételgetve, \(\displaystyle k-3\) ilyen lépés után elfogynak az ilyen gyertyák, és megfelelő háromszögelést kapunk. Le is ellenőrizhetjük, hogy valóban \(\displaystyle 1+2(k-3)=2k-5\) szeletet kapunk, de ez már a fenti bizonyításból is következett, itt csak azt kellett megmutatnunk, hogy a háromszögelés egyáltalán elvégezhető.

Statisztika:

201 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	120 versenyző.
3 pontot kapott:	63 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2017. szeptemberi matematika feladatai