KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1000. (October 2009)

C. 1000. There are 30 people sitting at a round table. Some of them are liars, the others tell the truth. We know that out of the two neighbours of every liar, exactly one is a liar. Each of the 30 people is asked how many liars are sitting next to them. 12 say exactly one and the others say that both of their neighbours are liars. How many liars are there around the table? (Based on a problem from Subcarpathia)

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feltételek szerint azt, hogy pontosan egy hazudós szomszédjuk van, csak az igazmondók mondhatják. Ekkor a következő ülésrend lehetséges: (I - igazmondó, H - hazudós) IHHIIHHI. Ha egy igazmondó mindkét oldalán hazudós ül, akkor az IHHIHHI szekvencia valósul meg. Három igazmondó nem ülhet egymás mellett a feltételek szerint. Ezek szerint a hazudósok száma páros. A két lehetséges szekvenciát az IHHI és a HHI üléssorrenddel írhatjuk le. Csak az első esetként, azaz hogy minden igazmondó mellett üljön hazudós is nem lehetséges, mert 30-an vannak, holott ennek a feltételnek csak annyian tudnak megfelelni, amikor számuk \(\displaystyle 4\)-gyel osztható. Ezért \(\displaystyle 4k+3l=30\), ahol \(\displaystyle k\) az első eset előfordulása, \(\displaystyle l\) pedig a másodiké, ami úgy is megfogalmazható, hogy \(\displaystyle 2(k+l)\) hazudós és \(\displaystyle 2k+l\) igazmondó, továbbá, hogy \(\displaystyle 2k=12\), ahonnan \(\displaystyle l=2\). Tehát 16 hazudós és 14 igazmodó ül az asztalnál.


Statistics:

406 students sent a solution.
5 points:317 students.
4 points:11 students.
3 points:7 students.
2 points:24 students.
1 point:13 students.
0 point:21 students.
Unfair, not evaluated:13 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley