KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1000. There are 30 people sitting at a round table. Some of them are liars, the others tell the truth. We know that out of the two neighbours of every liar, exactly one is a liar. Each of the 30 people is asked how many liars are sitting next to them. 12 say exactly one and the others say that both of their neighbours are liars. How many liars are there around the table? (Based on a problem from Subcarpathia)

(5 points)

Deadline expired on 10 November 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A feltételek szerint azt, hogy pontosan egy hazudós szomszédjuk van, csak az igazmondók mondhatják. Ekkor a következő ülésrend lehetséges: (I - igazmondó, H - hazudós) IHHIIHHI. Ha egy igazmondó mindkét oldalán hazudós ül, akkor az IHHIHHI szekvencia valósul meg. Három igazmondó nem ülhet egymás mellett a feltételek szerint. Ezek szerint a hazudósok száma páros. A két lehetséges szekvenciát az IHHI és a HHI üléssorrenddel írhatjuk le. Csak az első esetként, azaz hogy minden igazmondó mellett üljön hazudós is nem lehetséges, mert 30-an vannak, holott ennek a feltételnek csak annyian tudnak megfelelni, amikor számuk \(\displaystyle 4\)-gyel osztható. Ezért \(\displaystyle 4k+3l=30\), ahol \(\displaystyle k\) az első eset előfordulása, \(\displaystyle l\) pedig a másodiké, ami úgy is megfogalmazható, hogy \(\displaystyle 2(k+l)\) hazudós és \(\displaystyle 2k+l\) igazmondó, továbbá, hogy \(\displaystyle 2k=12\), ahonnan \(\displaystyle l=2\). Tehát 16 hazudós és 14 igazmodó ül az asztalnál.


Statistics on problem C. 1000.
406 students sent a solution.
5 points:317 students.
4 points:11 students.
3 points:7 students.
2 points:24 students.
1 point:13 students.
0 point:21 students.
Unfair, not evaluated:13 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley