KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1001. A certain integer has two prime factors. The number of its divisors is 6, and the sum of the divisors is 28. Which number is it?

(5 points)

Deadline expired on 10 November 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen a szám a feladatnak megfelelően \(\displaystyle n=a^k\cdot b^l\), továbbá az osztók száma \(\displaystyle (k+1)(l+1)=6\). Mivel \(\displaystyle k,l\ge 1\), ezért a két hatványkitevő \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 2\). Tegyük fel, hogy \(\displaystyle k=2\). Az osztók tehát az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle a\), \(\displaystyle a^2\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle ab\) és \(\displaystyle n\), az összegük pedig \(\displaystyle (1+b)(1+a+a^2)=28=1\cdot 28=2\cdot 14=4\cdot 7\). Mivel \(\displaystyle a,b\ge 2\), ezért \(\displaystyle 1+b\ge 3\), tehát \(\displaystyle 1+a+a^2\le 9 1/3\), ugyanakkor \(\displaystyle 1+a+a^2\ge 7\), amiből \(\displaystyle 1+b\le 4\). Tehát a prímosztók csak a \(\displaystyle 2\) és a \(\displaystyle 3\) lehetnek, mégpedig \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=3\) (különben az osztók összege \(\displaystyle 39\)). A keresett szám a 12.


Statistics on problem C. 1001.
488 students sent a solution.
5 points:136 students.
4 points:117 students.
3 points:75 students.
2 points:75 students.
1 point:61 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:15 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley