Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1001. (October 2009)

C. 1001. A certain integer has two prime factors. The number of its divisors is 6, and the sum of the divisors is 28. Which number is it?

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a szám a feladatnak megfelelően \(\displaystyle n=a^k\cdot b^l\), továbbá az osztók száma \(\displaystyle (k+1)(l+1)=6\). Mivel \(\displaystyle k,l\ge 1\), ezért a két hatványkitevő \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 2\). Tegyük fel, hogy \(\displaystyle k=2\). Az osztók tehát az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle a\), \(\displaystyle a^2\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle ab\) és \(\displaystyle n\), az összegük pedig \(\displaystyle (1+b)(1+a+a^2)=28=1\cdot 28=2\cdot 14=4\cdot 7\). Mivel \(\displaystyle a,b\ge 2\), ezért \(\displaystyle 1+b\ge 3\), tehát \(\displaystyle 1+a+a^2\le 9 1/3\), ugyanakkor \(\displaystyle 1+a+a^2\ge 7\), amiből \(\displaystyle 1+b\le 4\). Tehát a prímosztók csak a \(\displaystyle 2\) és a \(\displaystyle 3\) lehetnek, mégpedig \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=3\) (különben az osztók összege \(\displaystyle 39\)). A keresett szám a 12.


Statistics:

488 students sent a solution.
5 points:136 students.
4 points:117 students.
3 points:75 students.
2 points:75 students.
1 point:61 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:15 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009