KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1001. (October 2009)

C. 1001. A certain integer has two prime factors. The number of its divisors is 6, and the sum of the divisors is 28. Which number is it?

(5 pont)

Deadline expired on 10 November 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a szám a feladatnak megfelelően \(\displaystyle n=a^k\cdot b^l\), továbbá az osztók száma \(\displaystyle (k+1)(l+1)=6\). Mivel \(\displaystyle k,l\ge 1\), ezért a két hatványkitevő \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 2\). Tegyük fel, hogy \(\displaystyle k=2\). Az osztók tehát az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle a\), \(\displaystyle a^2\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle ab\) és \(\displaystyle n\), az összegük pedig \(\displaystyle (1+b)(1+a+a^2)=28=1\cdot 28=2\cdot 14=4\cdot 7\). Mivel \(\displaystyle a,b\ge 2\), ezért \(\displaystyle 1+b\ge 3\), tehát \(\displaystyle 1+a+a^2\le 9 1/3\), ugyanakkor \(\displaystyle 1+a+a^2\ge 7\), amiből \(\displaystyle 1+b\le 4\). Tehát a prímosztók csak a \(\displaystyle 2\) és a \(\displaystyle 3\) lehetnek, mégpedig \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=3\) (különben az osztók összege \(\displaystyle 39\)). A keresett szám a 12.


Statistics:

488 students sent a solution.
5 points:136 students.
4 points:117 students.
3 points:75 students.
2 points:75 students.
1 point:61 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:15 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley