KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1002. Find those right-angled triangles of integer sides for which the measures of the perimeter and area are equal.

(5 points)

Deadline expired on 10 November 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen \(\displaystyle a\le b <c\) a háromszög oldalainak hossza. A feltételek szerint \(\displaystyle a+b+c=ab/2\), továbbá \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\). Pl. \(\displaystyle (a+b)^2\)-t felírva a feltételből kapjuk az

\(\displaystyle ab=8+4c\)

összefüggést. A háromszög-egyenlőtlenségből \(\displaystyle a+b>c\), így \(\displaystyle ab<8+4a+4b\), azaz \(\displaystyle \displaystyle{a<\frac{8+4b}{b-4}=4+\frac{24}{b-4}}\). Pl. grafikus megfontolás alapján, tekintve, hogy \(\displaystyle a\le b\), \(\displaystyle a<\sqrt{24}+4\), azaz \(\displaystyle a\le 8\). A pitagoraszi számhármasokat (illetve többszöröseit) felhasználva ennek a feltételnek csak a \(\displaystyle 3, 4, 5\), a \(\displaystyle 6, 8, 10\), az \(\displaystyle 5, 12, 13\) és a \(\displaystyle 7, 24, 25\) felelnek meg. A kerületre és a területre vonatkozó feltételeknek csak a második és a harmadik hármas felel meg.


Statistics on problem C. 1002.
350 students sent a solution.
5 points:91 students.
4 points:80 students.
3 points:18 students.
2 points:8 students.
1 point:101 students.
0 point:40 students.
Unfair, not evaluated:12 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley