KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1003. (October 2009)

C. 1003. A wholesale merchant sells drugstore products and stationery. He has a container of volume 12 m3 that has a capacity of 5 tonnes of goods. One tonne of drugstore products fill up a volume of 1 m3, and a tonne of stationery products take up 3 m3. He makes a profit of 100,000 forints (HUF, Hungarian currency) per tonne on drugstore products and 200,000 forints per tonne on stationery. What is the maximum profit that the merchant can make by selling a container of goods?

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a konténerben \(\displaystyle v\) tonna vegyiáru és \(\displaystyle p\) tonna papíráru. Ekkor a konténer kapacitása szerint \(\displaystyle 0\le v+p \le 5\) és \(\displaystyle 0 \le v+3p \le 12\). A haszont százezer forintban számolva keressük a \(\displaystyle v+2p\) maximumát (\(\displaystyle C\)). Az egyenlőtlenségeket \(\displaystyle v\le 5-p\) és \(\displaystyle v\le 12-3p\) alakban írva ábrázoljuk grafikonon. Mindkét feltételnek eleget tevő értékek a grafikonon a (0,5), (0,0), (4,0) és - a határegyenesek metszéspontjaként adódó - (7/2, 3/2) pontok által meghatározott négyszög határára és belsejébe eső pontpárok adják. A haszont megadó lineáris összefüggést ábrázolva a kapott egyenes a \(\displaystyle v\) tengelyt \(\displaystyle C\)-ben metszi; a különböző hasznokhoz különböző, egymással párhuzamos egyenesek tartoznak. A feladat szerint az egyenesnek és a fent leírt négyszöglapnak van közös része. Akkor kapjuk a legnagyobb \(\displaystyle C\) értéket, amikor az egyenes a (7/2, 3/2) ponton megy át. Az ettől eltérő hasznokhoz tartozó egyenesek mind a \(\displaystyle \left(\frac 72 , \frac 32\right)\)-n átmenő egyenes alatt haladnak, mivel az támaszegyenese a négyszögnek.

Tehát a legnagyobb hasznot akkor kapja, ha \(\displaystyle 1,5\) t papírárut és \(\displaystyle 3,5\) t vegyiárut ad el, ekkor a haszon \(\displaystyle C=1,5+2\cdot3,5=8.5\) százezerszerese, vagyis 850 ezer Ft.


Statistics:

462 students sent a solution.
5 points:51 students.
4 points:20 students.
3 points:34 students.
2 points:144 students.
1 point:166 students.
0 point:28 students.
Unfair, not evaluated:19 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley