Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1004. (October 2009)

C. 1004. An arbitrary line is drawn through vertex A of a square ABCD, and perpendiculars are dropped onto the line from the vertices B and D. The feet of the perpendiculars are B1 and D1, respectively. Prove that AB12+AD12=BB12+DD12.

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a négyzet oldalának hosszát \(\displaystyle a\)-val, legyen \(\displaystyle AB_1=b\), \(\displaystyle AD_1=d\), \(\displaystyle BB_1=x\) és \(\displaystyle DD_1=y\). Az \(\displaystyle BB_1A\) és \(\displaystyle AD_1D\) háromszögek egybevágóak, mert derékszögűek, az átfogójuk ugyanolyan hosszú, és a \(\displaystyle B_1BA\) ill. \(\displaystyle D_1AD\) szögek merőleges szárú szögek lévén ugyanakkorák. A háromszögekben felírva Pitagorasz tételét \(\displaystyle b^2 + x^2 =a^2\) ill. \(\displaystyle d^2 + y^2 =a^2\). Az egybevágóság miatt \(\displaystyle b=y\) és \(\displaystyle d=x\)-ből adódik a fenti két egyenlőség bal oldalainak egyenlősége miatt, hogy \(\displaystyle b^2 + d^2 = x^2 + y^2\), ami pont a bizonyítandó állítás.


Statistics:

406 students sent a solution.
5 points:223 students.
4 points:76 students.
3 points:30 students.
2 points:26 students.
1 point:13 students.
0 point:26 students.
Unfair, not evaluated:12 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009