Problem C. 1004. (October 2009)
C. 1004. An arbitrary line is drawn through vertex A of a square ABCD, and perpendiculars are dropped onto the line from the vertices B and D. The feet of the perpendiculars are B1 and D1, respectively. Prove that AB12+AD12=BB12+DD12.
(5 pont)
Deadline expired on November 10, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a négyzet oldalának hosszát \(\displaystyle a\)-val, legyen \(\displaystyle AB_1=b\), \(\displaystyle AD_1=d\), \(\displaystyle BB_1=x\) és \(\displaystyle DD_1=y\). Az \(\displaystyle BB_1A\) és \(\displaystyle AD_1D\) háromszögek egybevágóak, mert derékszögűek, az átfogójuk ugyanolyan hosszú, és a \(\displaystyle B_1BA\) ill. \(\displaystyle D_1AD\) szögek merőleges szárú szögek lévén ugyanakkorák. A háromszögekben felírva Pitagorasz tételét \(\displaystyle b^2 + x^2 =a^2\) ill. \(\displaystyle d^2 + y^2 =a^2\). Az egybevágóság miatt \(\displaystyle b=y\) és \(\displaystyle d=x\)-ből adódik a fenti két egyenlőség bal oldalainak egyenlősége miatt, hogy \(\displaystyle b^2 + d^2 = x^2 + y^2\), ami pont a bizonyítandó állítás.
Statistics:
406 students sent a solution. 5 points: 223 students. 4 points: 76 students. 3 points: 30 students. 2 points: 26 students. 1 point: 13 students. 0 point: 26 students. Unfair, not evaluated: 12 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009