Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1004. (October 2009)

C. 1004. An arbitrary line is drawn through vertex A of a square ABCD, and perpendiculars are dropped onto the line from the vertices B and D. The feet of the perpendiculars are B1 and D1, respectively. Prove that AB12+AD12=BB12+DD12.

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük a négyzet oldalának hosszát \(\displaystyle a\)-val, legyen \(\displaystyle AB_1=b\), \(\displaystyle AD_1=d\), \(\displaystyle BB_1=x\) és \(\displaystyle DD_1=y\). Az \(\displaystyle BB_1A\) és \(\displaystyle AD_1D\) háromszögek egybevágóak, mert derékszögűek, az átfogójuk ugyanolyan hosszú, és a \(\displaystyle B_1BA\) ill. \(\displaystyle D_1AD\) szögek merőleges szárú szögek lévén ugyanakkorák. A háromszögekben felírva Pitagorasz tételét \(\displaystyle b^2 + x^2 =a^2\) ill. \(\displaystyle d^2 + y^2 =a^2\). Az egybevágóság miatt \(\displaystyle b=y\) és \(\displaystyle d=x\)-ből adódik a fenti két egyenlőség bal oldalainak egyenlősége miatt, hogy \(\displaystyle b^2 + d^2 = x^2 + y^2\), ami pont a bizonyítandó állítás.


Statistics:

406 students sent a solution.
5 points:223 students.
4 points:76 students.
3 points:30 students.
2 points:26 students.
1 point:13 students.
0 point:26 students.
Unfair, not evaluated:12 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2009