KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1007. Prove that the diameter of the inscribed circle of a right-angled triangle is the geometric mean of the difference between the hypotenuse and one leg, and the double of the difference between the hypotenuse and the other leg.

(5 points)

Deadline expired on 10 December 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A derékszögű háromszög befogóinak hossza legyenek \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), az átogójának hossza \(\displaystyle c\), a beírt körének sugara pedig \(\displaystyle r\). Az átfogó és a befogók különbségei \(\displaystyle c-a\) és \(\displaystyle c-b\), az átmérő hossza \(\displaystyle 2r\). Bizonyítandó, hogy \(\displaystyle 2r=\sqrt{2(c-a)\cdot (c-b)}\), vagy - négyzetreemelés és 2-vel való osztás után - \(\displaystyle 2r^2=(c-a)(c-b)\). Egy derékszögű háromszögben az oldalak és a beírt kör sugara között a következő összefüggéseket használhatjuk:

\(\displaystyle a+b=c+2r \)

a beírt kör érintőszakaszaiból,

\(\displaystyle ab=(a+b+c)r, \)

ami a terület kétszerese. Az utóbbi az első összefügés segítségével \(\displaystyle ab=2r(a+b-r)\) alakban is felírható.

\(\displaystyle (c-a)(c-b)=c^2-(a+b)c + ab=a^2 + b^2 -(a+b)(a+b-2r)+ab\) Pithagoras tételének és az első összefüggésnek a felhasználásával. A szorzatot kifejtve a továbbiakban a második összefüggést használjuk:

\(\displaystyle =2r(a+b)-ab=2r\big( (a+b)-(a+b-r)\big)=2r^2\), amit igazolnunk kellett.


Statistics on problem C. 1007.
255 students sent a solution.
5 points:193 students.
4 points:50 students.
3 points:2 students.
2 points:5 students.
1 point:3 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley