A C. 1008. feladat (2009. november)

C. 1008. A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyeket véletlenszerűen sorba állítjuk. Mekkora annak a valószínűsége, hogy néggyel osztható, hétjegyű számot kapunk? (A szám nem kezdődhet nullával.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A hét számjegyet véletlenszerűen sorba állítva összesen \(\displaystyle 7!\) darab számot kapunk, (nem mind hétjegyűek. A hét számjegyből összesen \(\displaystyle 6\cdot6!\) darab hétjegyű szám készíthető). Azok a számok, melyek \(\displaystyle 4\)-gyel oszthatóak - az oszthatósági szabály szerint - meghatározzák az utolsó két számjegyüket, melyek a következők lehetnek: \(\displaystyle 04\), \(\displaystyle 12\), \(\displaystyle 16\), \(\displaystyle 20\), \(\displaystyle 24\), \(\displaystyle 32\), \(\displaystyle 36\), \(\displaystyle 40\), \(\displaystyle 52\), \(\displaystyle 56\), \(\displaystyle 60\), \(\displaystyle 64\). Ezeket két csoportba osztjuk: ha az utolsó két számjegy valamelyike \(\displaystyle 0\), akkor ilyen végű hétjegyű szám \(\displaystyle 5!\) db van. Ha nincs az utolsó két számjegy között \(\displaystyle 0\), akkor az adott végződésű hétjegyű számok száma \(\displaystyle 4\cdot 4!\). Ezek szerint az adott számjegyekből \(\displaystyle 4\cdot 5! + 8\cdot 4\cdot 4!=52\cdot 4!\) darab \(\displaystyle 4\)-gyel osztható szám készülhet. Így a valószínűség \(\displaystyle \frac{52\cdot 4!}{7!}=\mathbf{\frac{26}{105}}\).

Statisztika:

414 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	103 versenyző.
4 pontot kapott:	205 versenyző.
3 pontot kapott:	57 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	25 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	11 dolgozat.

A KöMaL 2009. novemberi matematika feladatai