Problem C. 1009. (November 2009)
C. 1009. Given that two perpendicular tangents can be drawn from the origin to the circle x2-6x+y2-2py+17=0, find the possible values of p.
(5 pont)
Deadline expired on December 10, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A kör egyenletét átalakíthatjuk \(\displaystyle (x-3)^2 + (y-p)^2 =p^2 -8\)-ra. Az origóból (\(\displaystyle O\)) a körhöz húzott érintők érintési pontjai legyenek \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\), a kör középpontja \(\displaystyle C\). Mivel az érintők merőlegesek egymásra és az érintők az érintési pontba mutató sugárra is, ezért \(\displaystyle OECF\) négyszög téglalap és deltoid is egyben, azaz négyzet. A négyzet oldalának hossza megegyezik a kör sugarával, ami az átalakított egyenletből \(\displaystyle \sqrt{p^2 - 8}\). A négyzet átlójának hossza \(\displaystyle OC\) szakasz hossza, ami szintén az átalakított egyenletből leolvasható \(\displaystyle \sqrt{3^2 + p^2}\). Mivel az átló \(\displaystyle \sqrt 2\)-szerese a négyzet oldalának, ezért - négyzetreemelés után - \(\displaystyle 9 + p^2 = 2(p^2 -8)\), azaz \(\displaystyle 25=p^2\). Innen \(\displaystyle \mathbf{|p|=5}\).
Statistics:
187 students sent a solution. 5 points: 63 students. 4 points: 61 students. 3 points: 29 students. 2 points: 14 students. 1 point: 5 students. 0 point: 8 students. Unfair, not evaluated: 7 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009