Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1009. (November 2009)

C. 1009. Given that two perpendicular tangents can be drawn from the origin to the circle x2-6x+y2-2py+17=0, find the possible values of p.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kör egyenletét átalakíthatjuk \(\displaystyle (x-3)^2 + (y-p)^2 =p^2 -8\)-ra. Az origóból (\(\displaystyle O\)) a körhöz húzott érintők érintési pontjai legyenek \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\), a kör középpontja \(\displaystyle C\). Mivel az érintők merőlegesek egymásra és az érintők az érintési pontba mutató sugárra is, ezért \(\displaystyle OECF\) négyszög téglalap és deltoid is egyben, azaz négyzet. A négyzet oldalának hossza megegyezik a kör sugarával, ami az átalakított egyenletből \(\displaystyle \sqrt{p^2 - 8}\). A négyzet átlójának hossza \(\displaystyle OC\) szakasz hossza, ami szintén az átalakított egyenletből leolvasható \(\displaystyle \sqrt{3^2 + p^2}\). Mivel az átló \(\displaystyle \sqrt 2\)-szerese a négyzet oldalának, ezért - négyzetreemelés után - \(\displaystyle 9 + p^2 = 2(p^2 -8)\), azaz \(\displaystyle 25=p^2\). Innen \(\displaystyle \mathbf{|p|=5}\).


Statistics:

187 students sent a solution.
5 points:63 students.
4 points:61 students.
3 points:29 students.
2 points:14 students.
1 point:5 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009