KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1009. Given that two perpendicular tangents can be drawn from the origin to the circle x2-6x+y2-2py+17=0, find the possible values of p.

(5 points)

Deadline expired on 10 December 2009.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A kör egyenletét átalakíthatjuk \(\displaystyle (x-3)^2 + (y-p)^2 =p^2 -8\)-ra. Az origóból (\(\displaystyle O\)) a körhöz húzott érintők érintési pontjai legyenek \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\), a kör középpontja \(\displaystyle C\). Mivel az érintők merőlegesek egymásra és az érintők az érintési pontba mutató sugárra is, ezért \(\displaystyle OECF\) négyszög téglalap és deltoid is egyben, azaz négyzet. A négyzet oldalának hossza megegyezik a kör sugarával, ami az átalakított egyenletből \(\displaystyle \sqrt{p^2 - 8}\). A négyzet átlójának hossza \(\displaystyle OC\) szakasz hossza, ami szintén az átalakított egyenletből leolvasható \(\displaystyle \sqrt{3^2 + p^2}\). Mivel az átló \(\displaystyle \sqrt 2\)-szerese a négyzet oldalának, ezért - négyzetreemelés után - \(\displaystyle 9 + p^2 = 2(p^2 -8)\), azaz \(\displaystyle 25=p^2\). Innen \(\displaystyle \mathbf{|p|=5}\).


Statistics on problem C. 1009.
187 students sent a solution.
5 points:63 students.
4 points:61 students.
3 points:29 students.
2 points:14 students.
1 point:5 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley