KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1009. (November 2009)

C. 1009. Given that two perpendicular tangents can be drawn from the origin to the circle x2-6x+y2-2py+17=0, find the possible values of p.

(5 pont)

Deadline expired on 10 December 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kör egyenletét átalakíthatjuk \(\displaystyle (x-3)^2 + (y-p)^2 =p^2 -8\)-ra. Az origóból (\(\displaystyle O\)) a körhöz húzott érintők érintési pontjai legyenek \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\), a kör középpontja \(\displaystyle C\). Mivel az érintők merőlegesek egymásra és az érintők az érintési pontba mutató sugárra is, ezért \(\displaystyle OECF\) négyszög téglalap és deltoid is egyben, azaz négyzet. A négyzet oldalának hossza megegyezik a kör sugarával, ami az átalakított egyenletből \(\displaystyle \sqrt{p^2 - 8}\). A négyzet átlójának hossza \(\displaystyle OC\) szakasz hossza, ami szintén az átalakított egyenletből leolvasható \(\displaystyle \sqrt{3^2 + p^2}\). Mivel az átló \(\displaystyle \sqrt 2\)-szerese a négyzet oldalának, ezért - négyzetreemelés után - \(\displaystyle 9 + p^2 = 2(p^2 -8)\), azaz \(\displaystyle 25=p^2\). Innen \(\displaystyle \mathbf{|p|=5}\).


Statistics:

187 students sent a solution.
5 points:63 students.
4 points:61 students.
3 points:29 students.
2 points:14 students.
1 point:5 students.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley