KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1012. (December 2009)

C. 1012. A circle passing through the centre of a square is drawn about each vertex. The circles intersect the sides of the square at 8 points altogether. Prove that the intersections form a regular octagon.

(5 pont)

Deadline expired on 11 January 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a négyzet oldalának hossza 2 egység. Ekkor a berajzolt körök sugara \(\displaystyle \sqrt 2\). Egy oldalon az oldal felezőpontja és a körvonal \(\displaystyle x=\sqrt 2 -1\) távolságra vannak, ugyanazon pont a körön a csúcstól \(\displaystyle y=2-\sqrt 2\) távolságra van. Egy csúcshoz legközelebb eső metszéspontok távolsága \(\displaystyle z= \sqrt 2 (2 - \sqrt 2) = 2(\sqrt 2 - 1)\). A metszéspontok által meghatározott nyolcszög oldalainak hossza \(\displaystyle 2x\), ha az oldal a négyzet oldalára esik, illetve \(\displaystyle z\). Mivel mindkettő \(\displaystyle 2(\sqrt 2 - 1)\), és a nyolcszög minden szöge egyenlő a szimmetriák miatt, ezért a metszéspontok valóban egy szabályos nyolcszög csúcsai.


Statistics:

307 students sent a solution.
5 points:133 students.
4 points:100 students.
3 points:16 students.
2 points:11 students.
1 point:30 students.
0 point:7 students.
Unfair, not evaluated:10 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley