KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1013. (December 2009)

C. 1013. Represent the set of points (x,y) in the coordinate plane the coordinates of which satisfy the two conditions below: x2+y2\le25, -1\le \frac{x}{x+y}\le 1.

(5 pont)

Deadline expired on 11 January 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle x^2 + y^2 \le 2\) az origó középpontú, \(\displaystyle \sqrt 2\) sugarú körlap pontjainak koordinátáira teljesül. \(\displaystyle -1\le \frac{x}{x+y}\le 1\) teljesül, ha \(\displaystyle x=0\). Legyen \(\displaystyle m=\frac yx\), ha \(\displaystyle x\ne 0\)-val egyszerűsítve a \(\displaystyle -1\le \frac{1}{1+m}\le 1\) egyenlőtlenségeket vizsgáljuk. \(\displaystyle \frac{1}{1+m}\le 1\) akkor teljesül, ha \(\displaystyle m\ge 0\) vagy \(\displaystyle m< -1\). \(\displaystyle -1\le \frac{1}{1+m}\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle 0\le \frac{2+m}{1+m}\), azaz \(\displaystyle 2+m\ge 0\) és \(\displaystyle 1+m>0\) vagy \(\displaystyle 2+m\le 0\) és \(\displaystyle 1+m<0\). Az első \(\displaystyle m>-1\) esetén teljesül, a második eset akkor, ha \(\displaystyle m\le -2\). Az eredeti egyenlőtlenségek egyszerre akkor teljesülnek, ha \(\displaystyle m\ge 0\) vagy \(\displaystyle m\le -2\) és \(\displaystyle x\ne 0\). A pontok a két csíkozott körcikk belsejében és határárán vannak az origó kivételével.


Statistics:

199 students sent a solution.
5 points:78 students.
4 points:50 students.
3 points:19 students.
2 points:14 students.
1 point:19 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley