KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1014. The number of persons who booked ticket for the New Year's concert is a perfect square. If 100 more persons booked ticket then the number of spectators would be a perfect square plus 1. If still 100 more persons booked ticket then the number of spectators would be again a perfect square. How many persons booked ticket for the concert?

(5 points)

Deadline expired on 11 January 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A feladat szerint vannak olyan \(\displaystyle n<m<p\) természetes számok, melyekkel a nézők száma \(\displaystyle n^2\), ha százan többen vannak, \(\displaystyle n^2 + 100=m^2 + 1\), ha kétszázzal többen vannak, akkor \(\displaystyle n^2 + 200 = p^2\). \(\displaystyle m^2 - n^2 = 99\) szorzattá bontásával \(\displaystyle (m-n)(m+n)=1\cdot 99 = 3\cdot 33 = 9\cdot 11\) lehet. Ugyanígy \(\displaystyle p^2 - n^2 = 200\) szorzattá bontásával \(\displaystyle (p-n)(p+n)=1\cdot 200 = 2\cdot 100 = 4\cdot 50 = 5\cdot 40 = 8\cdot 25 = 10\cdot 20\) lehet. Készítsünk táblázatot \(\displaystyle n\), \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle p\) lehetséges értékeiről.

m 50 18 10
n 49 15 1
p 100,5 51 27 16,5 15
n 99,5 49 23 8,5 5

Csak egyetlen \(\displaystyle n\) érték közös a két táblázatban, ekkor \(\displaystyle n=49\), \(\displaystyle m=50\) és \(\displaystyle p=51\). Tehát a nézőtéren \(\displaystyle 49^2\)-en, azaz \(\displaystyle \mathbf{2401}\)-en voltak.


Statistics on problem C. 1014.
321 students sent a solution.
5 points:218 students.
4 points:40 students.
3 points:21 students.
2 points:17 students.
1 point:16 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley