KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1014. (December 2009)

C. 1014. The number of persons who booked ticket for the New Year's concert is a perfect square. If 100 more persons booked ticket then the number of spectators would be a perfect square plus 1. If still 100 more persons booked ticket then the number of spectators would be again a perfect square. How many persons booked ticket for the concert?

(5 pont)

Deadline expired on 11 January 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feladat szerint vannak olyan \(\displaystyle n<m<p\) természetes számok, melyekkel a nézők száma \(\displaystyle n^2\), ha százan többen vannak, \(\displaystyle n^2 + 100=m^2 + 1\), ha kétszázzal többen vannak, akkor \(\displaystyle n^2 + 200 = p^2\). \(\displaystyle m^2 - n^2 = 99\) szorzattá bontásával \(\displaystyle (m-n)(m+n)=1\cdot 99 = 3\cdot 33 = 9\cdot 11\) lehet. Ugyanígy \(\displaystyle p^2 - n^2 = 200\) szorzattá bontásával \(\displaystyle (p-n)(p+n)=1\cdot 200 = 2\cdot 100 = 4\cdot 50 = 5\cdot 40 = 8\cdot 25 = 10\cdot 20\) lehet. Készítsünk táblázatot \(\displaystyle n\), \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle p\) lehetséges értékeiről.

m 50 18 10
n 49 15 1
p 100,5 51 27 16,5 15
n 99,5 49 23 8,5 5

Csak egyetlen \(\displaystyle n\) érték közös a két táblázatban, ekkor \(\displaystyle n=49\), \(\displaystyle m=50\) és \(\displaystyle p=51\). Tehát a nézőtéren \(\displaystyle 49^2\)-en, azaz \(\displaystyle \mathbf{2401}\)-en voltak.


Statistics:

321 students sent a solution.
5 points:218 students.
4 points:40 students.
3 points:21 students.
2 points:17 students.
1 point:16 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley