KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1015. (January 2010)

C. 1015. If the sum of its digits is added to a certain three-digit number, the resulting number consists of identical digits. If the sum of the digits is subtracted from the original number, the result will also consist of identical digits. What is the original number?

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az eredeti háromjegyű szám legyen \(\displaystyle \overline{abc}\). Ha levonjuk belőle a számjegyeinek az összegét, akkor \(\displaystyle (100a+10b+c)-(a+b+c)=99a+9b\) az eredmény, ami osztható 9-cel.

Mivel egy háromjegyű szám számjegyeinek összege legfeljebb 27, így a két kapott szám közti különbség legfeljebb \(\displaystyle 2\cdot27=54\). Az azonos számjegyekből álló háromjegyű számok: \(\displaystyle 111\), \(\displaystyle 222\), stb. Két ilyen szám közötti különbség legalább 111. Tehát nem lehet mindkét szám, amit kapunk, háromjegyű.

A legkisebb megfelelő négyjegyű szám a 1111, ami a már elmondottak miatt túl nagy.

Tehát a kisebb szám kétjegyű, a nagyobb pedig háromjegyű. 9-cel oszható, azonos számjegyekből álló kétjegyű szám csak egy van, a 99. Mivel \(\displaystyle 99+54=153\), ezért a nagyobbik szám csak a 111 lehet. Az eredeti szám pedig \(\displaystyle \frac{99+111}{2}=105\), ami meg is felel a feltételnek: \(\displaystyle 105+6=111\) és \(\displaystyle 105-6=99\).

Megjegyzés: A feladat megfogalmazása nem volt elég pontos. Aki helyesen megoldotta azt a - nehezebb - feladatot, hogy a két kapott szám számjegyei megegyeznek az eredeti szám számjegyeivel, az is megkapta az 5 pontot.


Statistics:

193 students sent a solution.
5 points:153 students.
4 points:10 students.
3 points:3 students.
2 points:3 students.
1 point:7 students.
0 point:15 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley