Problem C. 1016. (January 2010)

C. 1016. In a right-angled triangle ABC, there is a 30^o angle at vertex B. D is the centre of the square drawn on the outside to the hypotenuse BC. Find angle ADB.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. \(\displaystyle CDB\angle=90^\circ\), mert \(\displaystyle D\) a négyzet átlóinak metszéspontja. Thalesz tételének megfordítása szerint mind a \(\displaystyle CBD\), mind az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének egyik átmérője \(\displaystyle BC\), azaz \(\displaystyle ABDC\) húrnégyszög. A kör \(\displaystyle AB\) ívéhez tartozik \(\displaystyle ACB\) és \(\displaystyle ADB\) kerületi szögek is, melyek a kerületi szögek tétele szerint megegyeznek. Mivel a \(\displaystyle C\) csúcsnál \(\displaystyle 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)-os szög van, ezért \(\displaystyle ADB\angle = 60^\circ\).

2. megoldás. Az átfogó felezőpontja legyen \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle AFC\triangle\) szabályos, mert \(\displaystyle C\) csúcsnál \(\displaystyle 60^\circ\)-os szög van, továbbá \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle ABC\triangle\) köré írt kör középpontja, ezért \(\displaystyle FA=FC\), ill. az \(\displaystyle AC\) ívhez tartozó kerületi szög - középponti szög közötti összefüggés szerint \(\displaystyle CFA\angle = 2\cdot 30^\circ = 60^\circ\). Mivel \(\displaystyle D\) egy \(\displaystyle BC\) oldalú négyzet középpontja, ezért \(\displaystyle CFD\triangle\) egyenlőszárű. Tehát \(\displaystyle AF=FC=FD\) miatt \(\displaystyle AFD\triangle\) is egyenlőszárú., az alapján fekvő szögei pedig \(\displaystyle \frac{180^\circ - (60^\circ + 90^\circ)}{2}=15^\circ\). Mivel \(\displaystyle FBD\triangle\) is egyenlőszárú derékszögű, ezért \(\displaystyle FDB\angle = 45^\circ\). Tehát \(\displaystyle ADB\angle = 60^\circ\).

Statistics:

299 students sent a solution.
5 points:	268 students.
4 points:	3 students.
3 points:	3 students.
2 points:	5 students.
1 point:	8 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010