KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1016. In a right-angled triangle ABC, there is a 30o angle at vertex B. D is the centre of the square drawn on the outside to the hypotenuse BC. Find angle \angleADB.

(5 points)

Deadline expired on 10 February 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

1. megoldás. \(\displaystyle CDB\angle=90^\circ\), mert \(\displaystyle D\) a négyzet átlóinak metszéspontja. Thalesz tételének megfordítása szerint mind a \(\displaystyle CBD\), mind az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének egyik átmérője \(\displaystyle BC\), azaz \(\displaystyle ABDC\) húrnégyszög. A kör \(\displaystyle AB\) ívéhez tartozik \(\displaystyle ACB\) és \(\displaystyle ADB\) kerületi szögek is, melyek a kerületi szögek tétele szerint megegyeznek. Mivel a \(\displaystyle C\) csúcsnál \(\displaystyle 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)-os szög van, ezért \(\displaystyle ADB\angle = 60^\circ\).

2. megoldás. Az átfogó felezőpontja legyen \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle AFC\triangle\) szabályos, mert \(\displaystyle C\) csúcsnál \(\displaystyle 60^\circ\)-os szög van, továbbá \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle ABC\triangle\) köré írt kör középpontja, ezért \(\displaystyle FA=FC\), ill. az \(\displaystyle AC\) ívhez tartozó kerületi szög - középponti szög közötti összefüggés szerint \(\displaystyle CFA\angle = 2\cdot 30^\circ = 60^\circ\). Mivel \(\displaystyle D\) egy \(\displaystyle BC\) oldalú négyzet középpontja, ezért \(\displaystyle CFD\triangle\) egyenlőszárű. Tehát \(\displaystyle AF=FC=FD\) miatt \(\displaystyle AFD\triangle\) is egyenlőszárú., az alapján fekvő szögei pedig \(\displaystyle \frac{180^\circ - (60^\circ + 90^\circ)}{2}=15^\circ\). Mivel \(\displaystyle FBD\triangle\) is egyenlőszárú derékszögű, ezért \(\displaystyle FDB\angle = 45^\circ\). Tehát \(\displaystyle ADB\angle = 60^\circ\).


Statistics on problem C. 1016.
299 students sent a solution.
5 points:268 students.
4 points:3 students.
3 points:3 students.
2 points:5 students.
1 point:8 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley