A C. 1016. feladat (2010. január) |
C. 1016. Az ABC derékszögű háromszögben a B csúcsnál 30o van. A BC átfogóra kifelé írt négyzet középpontja D. Mekkora az ADB szög?
(5 pont)
A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. \(\displaystyle CDB\angle=90^\circ\), mert \(\displaystyle D\) a négyzet átlóinak metszéspontja. Thalesz tételének megfordítása szerint mind a \(\displaystyle CBD\), mind az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének egyik átmérője \(\displaystyle BC\), azaz \(\displaystyle ABDC\) húrnégyszög. A kör \(\displaystyle AB\) ívéhez tartozik \(\displaystyle ACB\) és \(\displaystyle ADB\) kerületi szögek is, melyek a kerületi szögek tétele szerint megegyeznek. Mivel a \(\displaystyle C\) csúcsnál \(\displaystyle 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)-os szög van, ezért \(\displaystyle ADB\angle = 60^\circ\).
2. megoldás. Az átfogó felezőpontja legyen \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle AFC\triangle\) szabályos, mert \(\displaystyle C\) csúcsnál \(\displaystyle 60^\circ\)-os szög van, továbbá \(\displaystyle F\) az \(\displaystyle ABC\triangle\) köré írt kör középpontja, ezért \(\displaystyle FA=FC\), ill. az \(\displaystyle AC\) ívhez tartozó kerületi szög - középponti szög közötti összefüggés szerint \(\displaystyle CFA\angle = 2\cdot 30^\circ = 60^\circ\). Mivel \(\displaystyle D\) egy \(\displaystyle BC\) oldalú négyzet középpontja, ezért \(\displaystyle CFD\triangle\) egyenlőszárű. Tehát \(\displaystyle AF=FC=FD\) miatt \(\displaystyle AFD\triangle\) is egyenlőszárú., az alapján fekvő szögei pedig \(\displaystyle \frac{180^\circ - (60^\circ + 90^\circ)}{2}=15^\circ\). Mivel \(\displaystyle FBD\triangle\) is egyenlőszárú derékszögű, ezért \(\displaystyle FDB\angle = 45^\circ\). Tehát \(\displaystyle ADB\angle = 60^\circ\).
Statisztika:
299 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 268 versenyző. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2010. januári matematika feladatai