KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1017. (January 2010)

C. 1017. The two cubes shown in the diagram are lying on a horizontal tabletop. The sum of their edges is 2 cm, and the sum of their volumes is 5.375 cm3. Find the area of the black rectangle.

(5 pont)

Deadline expired on 10 February 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. A következő egyenletrendszer alapján keressük \(\displaystyle ab\)-t:

\(\displaystyle a+b=2\)

\(\displaystyle a^3 + b^3 =5,375.\)

Mivel \(\displaystyle a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)\), ezért \(\displaystyle ab=\frac{2^3 - 5,357}{3\cdot 2}=0,4375\). Tehát a fekete téglalap területe \(\displaystyle 0,4375\ {\rm cm}^2\).

2. megoldás. A következő egyenletrendszer alapján keressük \(\displaystyle ab\)-t:

\(\displaystyle a+b=2\)

\(\displaystyle a^3 + b^3 =5,375.\)

Az elsőből \(\displaystyle a=2-b\), amit a második egyenletbe helyettesítve \(\displaystyle 8-12b+6b^2-b^3 + b^3=5,357\)-t kapunk. \(\displaystyle 6\)-tal való osztás után megoldandó a \(\displaystyle b^2-2b+0,4375=0\) egyenlet, melynek két (diszkrimináns pozitív) megoldása éppen a két kocka élhosszát adja meg. Tudjuk a gyökök és együtthatók közötti összefüggésekből, hogy (főegyüttható \(\displaystyle 1\) lévén) a gyökök szorzata pont a konstans tag. Ezért \(\displaystyle ab=0,4375\). Tehát a fekete téglalap területe \(\displaystyle 0,4375\ {\rm cm}^2\).


Statistics:

332 students sent a solution.
5 points:296 students.
4 points:11 students.
3 points:10 students.
2 points:5 students.
1 point:5 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley