KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1017. The two cubes shown in the diagram are lying on a horizontal tabletop. The sum of their edges is 2 cm, and the sum of their volumes is 5.375 cm3. Find the area of the black rectangle.

(5 points)

Deadline expired on 10 February 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

1. megoldás. A következő egyenletrendszer alapján keressük \(\displaystyle ab\)-t:

\(\displaystyle a+b=2\)

\(\displaystyle a^3 + b^3 =5,375.\)

Mivel \(\displaystyle a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)\), ezért \(\displaystyle ab=\frac{2^3 - 5,357}{3\cdot 2}=0,4375\). Tehát a fekete téglalap területe \(\displaystyle 0,4375\ {\rm cm}^2\).

2. megoldás. A következő egyenletrendszer alapján keressük \(\displaystyle ab\)-t:

\(\displaystyle a+b=2\)

\(\displaystyle a^3 + b^3 =5,375.\)

Az elsőből \(\displaystyle a=2-b\), amit a második egyenletbe helyettesítve \(\displaystyle 8-12b+6b^2-b^3 + b^3=5,357\)-t kapunk. \(\displaystyle 6\)-tal való osztás után megoldandó a \(\displaystyle b^2-2b+0,4375=0\) egyenlet, melynek két (diszkrimináns pozitív) megoldása éppen a két kocka élhosszát adja meg. Tudjuk a gyökök és együtthatók közötti összefüggésekből, hogy (főegyüttható \(\displaystyle 1\) lévén) a gyökök szorzata pont a konstans tag. Ezért \(\displaystyle ab=0,4375\). Tehát a fekete téglalap területe \(\displaystyle 0,4375\ {\rm cm}^2\).


Statistics on problem C. 1017.
332 students sent a solution.
5 points:296 students.
4 points:11 students.
3 points:10 students.
2 points:5 students.
1 point:5 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley