Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1019. (January 2010)

C. 1019. A cylinder lying on a horizontal plane is held fixed by placing a prism against each side. (The prisms touch the lateral surface of the cylinder along an upper edge.) What is the radius of the cylinder if the heights of the prisms are 9 cm and 2 cm, and their separation is 23 cm?

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ábra a feladatbeli testek tengelyre merőleges vetületét mutatja. A megtámasztás pontjába mutató sugár - mindkét esetben - egy derékszögű háromszög átfogója, egyik befogója pedig a sík és henger érintkezési pontjába mutató sugár része. A másik befogók párhuzamosak a síkkal, hosszuk összege pedig a két hasáb távolságával egyezik meg. Ezen befogók, a hasábok élei és a sík vetülete ill. a síkra merőleges sugár egy \(\displaystyle 9\) és \(\displaystyle x\), illetve egy \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 23-x\) oldalú téglalapokat határounak meg. Ezért a háromszögek másik befogói \(\displaystyle r-9\) és \(\displaystyle r-2\) hosszúak. Mindkettőre felírva Pithagorasz tételét

\(\displaystyle x^2 + (r-9)^2 =r^2,\)

\(\displaystyle (23-x)^2 + (r-2)^2 = r^2.\)

Mindkét egyenletből \(\displaystyle x\)-t kifejezve a \(\displaystyle 23-\sqrt{4r-4}=\sqrt{18r-81}\) egyenlet megoldandó. (A feladat szerint \(\displaystyle x<23\) és \(\displaystyle r>9\).) Kétszer négyzetre emelünk, mire rendezés után kapjuk a \(\displaystyle 49r^2 -6358r+93925=0\) másodfokú egyenletet. Ennek első megoldásához (kb. 112,755) \(\displaystyle x\approx 44,14>23\) nem jó megoldást ad. A második gyök \(\displaystyle r=17\), amihez \(\displaystyle x=15\) tartozik megfelel a feladat feltételeinek. A henger sugara 17 cm.


Statistics:

214 students sent a solution.
5 points:122 students.
4 points:42 students.
3 points:19 students.
2 points:7 students.
1 point:5 students.
0 point:14 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010