KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1019. (January 2010)

C. 1019. A cylinder lying on a horizontal plane is held fixed by placing a prism against each side. (The prisms touch the lateral surface of the cylinder along an upper edge.) What is the radius of the cylinder if the heights of the prisms are 9 cm and 2 cm, and their separation is 23 cm?

(5 pont)

Deadline expired on 10 February 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ábra a feladatbeli testek tengelyre merőleges vetületét mutatja. A megtámasztás pontjába mutató sugár - mindkét esetben - egy derékszögű háromszög átfogója, egyik befogója pedig a sík és henger érintkezési pontjába mutató sugár része. A másik befogók párhuzamosak a síkkal, hosszuk összege pedig a két hasáb távolságával egyezik meg. Ezen befogók, a hasábok élei és a sík vetülete ill. a síkra merőleges sugár egy \(\displaystyle 9\) és \(\displaystyle x\), illetve egy \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 23-x\) oldalú téglalapokat határounak meg. Ezért a háromszögek másik befogói \(\displaystyle r-9\) és \(\displaystyle r-2\) hosszúak. Mindkettőre felírva Pithagorasz tételét

\(\displaystyle x^2 + (r-9)^2 =r^2,\)

\(\displaystyle (23-x)^2 + (r-2)^2 = r^2.\)

Mindkét egyenletből \(\displaystyle x\)-t kifejezve a \(\displaystyle 23-\sqrt{4r-4}=\sqrt{18r-81}\) egyenlet megoldandó. (A feladat szerint \(\displaystyle x<23\) és \(\displaystyle r>9\).) Kétszer négyzetre emelünk, mire rendezés után kapjuk a \(\displaystyle 49r^2 -6358r+93925=0\) másodfokú egyenletet. Ennek első megoldásához (kb. 112,755) \(\displaystyle x\approx 44,14>23\) nem jó megoldást ad. A második gyök \(\displaystyle r=17\), amihez \(\displaystyle x=15\) tartozik megfelel a feladat feltételeinek. A henger sugara 17 cm.


Statistics:

214 students sent a solution.
5 points:122 students.
4 points:42 students.
3 points:19 students.
2 points:7 students.
1 point:5 students.
0 point:14 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley