A C. 1021. feladat (2010. február)

C. 1021. Az ABC háromszög AC oldalán felveszünk egy P, a BC oldalán pedig egy Q pontot. A P ponton át BC-vel húzott párhuzamos az AB-t K-ban, a Q ponton át AC-vel húzott párhuzamos az AB-t L-ben metszi. Igazoljuk, hogy ha PQ párhuzamos AB-vel, akkor AK=BL.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a \(\displaystyle P'\) a \(\displaystyle BC\) oldalon és \(\displaystyle Q'\) az \(\displaystyle AC\) oldalon az a pont, amire \(\displaystyle PP'\) és \(\displaystyle QQ'\) párhuzamos \(\displaystyle AB\)-vel. Ekkor \(\displaystyle \vec{PP'}=\vec{KB}\) és \(\displaystyle \vec{Q'Q}=\vec{AL}\). Másrészről pedig \(\displaystyle \vec{AK}=\vec{AL}-\vec{KL}=\vec{Q'Q}-\vec{KL}\) és \(\displaystyle \vec{LB}=\vec{KB}-\vec{KL}=\vec{PP'}-\vec{KL}\). Ha \(\displaystyle PQ\) párhuzamos \(\displaystyle AB\)-vel, akkor \(\displaystyle PP'\), \(\displaystyle Q'Q\) és \(\displaystyle PQ\) egybeesnek. Így \(\displaystyle \vec{AK}=\vec{LB}\), ami azt is jelenti, hogy \(\displaystyle AK=LB\).

Statisztika:

291 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	163 versenyző.
4 pontot kapott:	84 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	20 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2010. februári matematika feladatai