Problem C. 1022. (February 2010)

C. 1022. A rhombus is constructed out of four metal rods of 20-cm length hinged at the vertices. The longer diagonal is originally 32 cm long. The rhombus is slightly compressed along the longer diagonal. As a result, the other diagonal gets longer by 1.2 as much as the longer one gets shorter. What are the new lengths of the diagonals?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Felhasználjuk, hogy a rombusz átlói felezik egymást és merőlegesek egymásra. Ezért a rövidebbik átló felének hosszát Pithagoras tételével kiszámolhatjuk: \(\displaystyle y=\sqrt{20^2-16^2}=12\). Az összenyomás után az edényalátát olyan rombusz formájú, melynek egyik átlójának fele \(\displaystyle 16-x\), másik átlójának fele \(\displaystyle 12+1,2x\) hosszú. Mivel ezek az átlók is merőlegesen felezik egymást, ezért ismét felírhatjuk Pithagoras tételét: \(\displaystyle (16-x)^2 + (12+1,2x)^2 = 20^2\), átrendezve \(\displaystyle 2,44x^2-3,2x=0\). Mivel az összenyomás valódi, azaz \(\displaystyle x>0\), ezért \(\displaystyle x=\frac{80}{61}\approx 1,31\) cm. Ez összenyomás után az átlók kb. 29,38 cm és 27,15 cm hosszúak lettek.

Statistics:

272 students sent a solution.
5 points:	140 students.
4 points:	67 students.
3 points:	21 students.
2 points:	16 students.
1 point:	22 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2010