A C. 1024. feladat (2010. február)

C. 1024. Melyik az a legfeljebb negyedfokú \(\displaystyle p(x)\) polinom, melynek az \(\displaystyle x_1=-3\) és \(\displaystyle x_2=5\) zérushelye, és egyben minimumhelye is? Tudjuk még, hogy a \(\displaystyle q(x)= p(x+1)\) polinom páros és lokális maximumának értéke 256.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.

1. megoldás. Mivel \(\displaystyle p\) legfeljebb negyedfokú és az 5, ill a -3 gyökei, ezért \(\displaystyle p(x)=(ax^2 + bx + c)(x+3)(x-5)\). \(\displaystyle p\)-nek (legalább) két minimumhelye van, ezért legalább negyedfokú. (Ugyanis \(\displaystyle p\) legalább másodfokú a két gyök miatt, de annak legfeljebb egy minimumhelye lehet. Ha \(\displaystyle p\) harmadfokú lenne, akkor \(\displaystyle q\) is harmadfokú, de az nem lehet páros.) Ezért \(\displaystyle a\ne 0\). \(\displaystyle q(x) = p(x+1) = (a(x+1)^2 + b(x+1) + c)((x+1)+3)((x+1)-5) = (ax^2 + (2a+b)x +a+b+c)(x+4)(x-4)\) páros, amiből következik, hogy ha \(\displaystyle x_0\) gyöke, akkor \(\displaystyle -x_0\) is gyöke. Ezért \(\displaystyle ax^2 + (2a+b)x +a+b+c = a(x-x_0)(x+x_0) = a(x^2 - x_0^2)\) alakú, tehát \(\displaystyle 2a+b=0\). Ha \(\displaystyle p\)-nek a zérushelyei egyben lokális minimumhelyek is voltak, akkor a (vízszintesen) eltolt \(\displaystyle q\) zérushelyei is lokális minimumhelyek. Ha \(\displaystyle x_0\ne 4\), akkor van olyan \(\displaystyle c\), amire \(\displaystyle q(c)< 0\), ekkor van maximumhely \(\displaystyle 4\) és \(\displaystyle c\) között, szimmetrikusan \(\displaystyle -4\) és \(\displaystyle -c\) között is (az értéke 256). Ekkor pl. a \(\displaystyle q^*(x) = q(x)+1\) polinomnak hat gyöke lenne, de ez nem lehetséges, mert \(\displaystyle q^*(x)\) is negyedfokú. Tehát \(\displaystyle q(x)\)-nek pontosan egy lokális maximumhelye van, az \(\displaystyle x_{max}=0\), továbbá \(\displaystyle q(x)\ge 0\) és \(\displaystyle x_0 = 4\). Ezért \(\displaystyle q(x)=a(x^2-16)\), \(\displaystyle q(0)=256\), tehát \(\displaystyle a=1\). Innen \(\displaystyle p(x)=q(x-1)=((x+3)(x-5)) ^2 = (x^2 -2x -15)^2\).

2. megoldás. \(\displaystyle p(x)=(ax^2 + bx + c)(x+3)(x-5)\) alakba írható, \(\displaystyle q(x) = p(x+1) = (a(x+1)^2 + b(x+1) + c)((x+1)+3)((x+1)-5) = (ax^2 + (2a+b)x +a+b+c)(x+4)(x-4)\). A párossága miatt \(\displaystyle 2a+b=0\), így \(\displaystyle q(x) = ax^4 + (c-a-16)x^2 -16(c-a)\). Szélsőértékeit deriválással állapítsuk meg: \(\displaystyle q'(x)= 4ax^3 + 2(c-a-16)x=0\) egyenlet megoldásaiból adódhatnak. \(\displaystyle x=0\) egy gyök, a továbbiak \(\displaystyle \pm \sqrt{\frac{16+a-c}{2a}}\), melyekről tudjuk, hogy valóban szélsőértékek: minimumhelyek, mégpedig a \(\displaystyle \pm 4\). Ezért \(\displaystyle c=16-31a\). Mivel minimumhelyek voltak, ezért \(\displaystyle q'(x)\) pozitív, ha \(\displaystyle -4<x<0\) vagy \(\displaystyle 4<x\), továbbá negatív, ha \(\displaystyle x<-4\) vagy \(\displaystyle 0<x<4\). Ezért \(\displaystyle x=0\)-ban maximuma van \(\displaystyle q(x)\)-nek, a maximum értéke 256 (a feladat szerint). Ugyanakkor \(\displaystyle 256=q(0)=-16(c-a)=-16(16-32a)\), ahonnan \(\displaystyle c-a=16\) és \(\displaystyle a=1\). \(\displaystyle q(x)=x^4 -32x^2 + 256\), azaz \(\displaystyle p(x)=q(x-1)=x^4-4x^3-26x^2+60x+225\)

Statisztika:

120 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Adrián Patrik, Baráti László, Benyó Krisztián, Blóz Gizella Evelin, Bodnár Patrícia, Bogár Blanka, Böröcz Bence, Böröczky Dezső, Brunda Dániel, Csere Kálmán, Dolgos Tamás, Doma Péter, Földvári Gábor, Gehér Péter, Gózon Georgina, Gyarmati Máté, Jezeri András, Juhász-Bóka Bernadett, Király Edit, Kis Attila Soma, Kiss 986 Mariann, Kitzinger Andor, Madarasi Adrienn, Medvey Fanni, Menyhárt 666 Balázs, Mihálykó András, Molnár Bertalan, Müller Adrienn, Nagy 021 Tibor, Nánási József, Remete László, Repka 666 Dániel, Samu Viktor, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Szakács Enikő, Szende Tamás, Szigeti Bertalan György, Trócsányi Péter, Weimann Richárd.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	18 versenyző.
0 pontot kapott:	18 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2010. februári matematika feladatai