KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1028. (March 2010)

C. 1028. ABC is an equilateral triangle in the plane. Consider the plane figure formed by the points for which the distance from vertex A is not greater than the side of the triangle and the distances from vertices B and C are not smaller than the side of the triangle. By what factor is the area of the figure greater than the area of the triangle?

(5 pont)

Deadline expired on 12 April 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldala legyen \(\displaystyle a\). Ekkor a keresett pontok az \(\displaystyle A\) csúcs köré írt \(\displaystyle a\) sugarú körön belül, a \(\displaystyle B\), illetve \(\displaystyle C\) csúcs köré írt \(\displaystyle a\) sugarú körön pedig kívül vannak. Ezek a pontok az ábrán kékkel színezett alakzatot határozzák meg.

Mivel \(\displaystyle ACB'\) és \(\displaystyle AC'B\) egyaránt \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszögek, így \(\displaystyle B'AC\angle=CAB\angle=BAC'\angle=60^{\circ}\). Tehát az alakzat egy félkör, melyből elhagyunk két \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os középponti szögű körszeletet.

A félkör területe \(\displaystyle \frac{a^2\pi}2\). Egy 60°-os körszelet területét megkapjuk egy \(\displaystyle a\) sugarú 60°-os körcikk és egy \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög területének különbségeként: \(\displaystyle T_{\rm körszelet}= \frac{a^2\pi}6-\frac{a^2\sqrt3}4=a^2\left(\frac{\pi}6-\frac{\sqrt3}4 \right)\).

A síkidom területe: \(\displaystyle t=\frac{a^2\pi}2-2a^2\left(\frac{\pi}6-\frac{\sqrt3}4 \right)=a^2\left(\frac\pi6+ \frac{\sqrt3}2\right)\). A háromszög területe \(\displaystyle \frac{a^2\sqrt3}4\), a kettő hányadosa: \(\displaystyle \frac{\frac\pi6+ \frac{\sqrt3}2}{\frac{\sqrt3}4}=\frac{2\pi}{3\sqrt3}+2\approx 3,21\).

Tehát a síkidom területe a háromszög területének kb. 3,21-szerese.


Statistics:

208 students sent a solution.
5 points:144 students.
4 points:5 students.
3 points:19 students.
2 points:12 students.
1 point:20 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley