Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1028. (March 2010)

C. 1028. ABC is an equilateral triangle in the plane. Consider the plane figure formed by the points for which the distance from vertex A is not greater than the side of the triangle and the distances from vertices B and C are not smaller than the side of the triangle. By what factor is the area of the figure greater than the area of the triangle?

(5 pont)

Deadline expired on April 12, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldala legyen \(\displaystyle a\). Ekkor a keresett pontok az \(\displaystyle A\) csúcs köré írt \(\displaystyle a\) sugarú körön belül, a \(\displaystyle B\), illetve \(\displaystyle C\) csúcs köré írt \(\displaystyle a\) sugarú körön pedig kívül vannak. Ezek a pontok az ábrán kékkel színezett alakzatot határozzák meg.

Mivel \(\displaystyle ACB'\) és \(\displaystyle AC'B\) egyaránt \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszögek, így \(\displaystyle B'AC\angle=CAB\angle=BAC'\angle=60^{\circ}\). Tehát az alakzat egy félkör, melyből elhagyunk két \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os középponti szögű körszeletet.

A félkör területe \(\displaystyle \frac{a^2\pi}2\). Egy 60°-os körszelet területét megkapjuk egy \(\displaystyle a\) sugarú 60°-os körcikk és egy \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög területének különbségeként: \(\displaystyle T_{\rm körszelet}= \frac{a^2\pi}6-\frac{a^2\sqrt3}4=a^2\left(\frac{\pi}6-\frac{\sqrt3}4 \right)\).

A síkidom területe: \(\displaystyle t=\frac{a^2\pi}2-2a^2\left(\frac{\pi}6-\frac{\sqrt3}4 \right)=a^2\left(\frac\pi6+ \frac{\sqrt3}2\right)\). A háromszög területe \(\displaystyle \frac{a^2\sqrt3}4\), a kettő hányadosa: \(\displaystyle \frac{\frac\pi6+ \frac{\sqrt3}2}{\frac{\sqrt3}4}=\frac{2\pi}{3\sqrt3}+2\approx 3,21\).

Tehát a síkidom területe a háromszög területének kb. 3,21-szerese.


Statistics:

208 students sent a solution.
5 points:144 students.
4 points:5 students.
3 points:19 students.
2 points:12 students.
1 point:20 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010