Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1029. (March 2010)

C. 1029. In a gift shop, there are 160 Easter greating cards stacked on the counter. A customer separates the stack of cards in two (not necessarily equal) parts, each containing at least two cards. He buys one card of one of the two stacks. The next customer follows the same procedure: he divides one of the stacks in two (according to the above conditions), buys one card from one part. Then comes the next customer, and so on. Is it possible in this way to obtain stacks of cards on the counter that consist of four cards each?

(5 pont)

Deadline expired on April 12, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Minden vásárláskor eggyel nő a kupacok száma, és minden kupacban legalább két képeslap van. Ezért az olyan kupacok, amelyekben 2 vagy 3 lap van már nem bonthatók ketté, azaz nem szüntethetünk meg kupacot. Ezért ha \(\displaystyle k\) vásárló járt a boltban, akkor az utolsó vásárlása után \(\displaystyle k+1\) kupac maradt a pulton, melyekben összesen \(\displaystyle 160-k\) képeslap van. Ha minden kupacban pontosan 4 található, akkor a lapok száma \(\displaystyle 4(k+1)=160-k\), amiből \(\displaystyle 5k=156\). Mivel 156 nem osztható 5-tel, ezért ellentmondásra jutunk. Nem érhető el tehát, hogy a feladatbeli eljárást követve csupa 4 képeslapból álló kupacaink maradjanak.


Statistics:

204 students sent a solution.
5 points:166 students.
0 point:34 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2010