Problem C. 1030.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

C. 1030. x and y are real numbers such that x+3y=12 and x $\ge$ 2y $\ge$ 0. What values may x+2y have?

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

I. mo. Ha x+3y=12, akkor $y=\frac{12-x}{3}$ . Az x $\ge$ 2y $\ge$ 0 szerint y $\ge$ 0 és $y\le \frac 12 x$ . Legyen x+2y=C, azaz $y=\frac{C-x}{2}$ . Ábrázoljuk a lehetséges (x, y) párokat koordnátarendszerben.

Az $y=\frac{12-x}{3}$ egyenes azon pontjai lesznek jók, amik a satírozott területbe eső szakaszon vannak. C értékeket meghatározhatjuk, ha ezen szakasz pontjain át -1/2 meredekségű egyeneseket húzunk: az y tengelyt C/2-ben metszik. Az összes egyenes egy ``szalagot'' határoz meg, amelyeket a syakasz végpontjain át húzott egyenesek határoznak meg. E szerint C értékének felét ez a két határolóegyenes határozza meg. A szakasz végpontjait az x+3y=12,x=2y és az x+3y=12,y=0 egyenletrendszerekből számolhatjuk ki. A felső végpont a $\left(\frac{24}{5},\ \frac{12}{5}\right)$ , az alsó végpont $(12,\ 0)$ . Tehát 9,6 $\le$ C=x+2y $\le$ 12.

2. mo. AZ x+3y=12 feltételből x=12-3y. A kereset kifejezés C=x+2y=12-y. Mivel y $\ge$ 0, ezért c $\le$ 12-0=12.

Statistics on problem C. 1030.

200 students sent a solution.

5 points: 143 students.

4 points: 9 students.

3 points: 12 students.

2 points: 4 students.

1 point: 12 students.

0 point: 15 students.

Unfair, not evaluated: 5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010

Our web pages are supported by:

ELTE