KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Competitions Portal

C. 1030. x and y are real numbers such that x+3y=12 and x\ge2y\ge0. What values may x+2y have?

(5 points)

Deadline expired on 10 May 2010.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Ha &tex;\displaystyle x+3y=12&xet;, akkor &tex;\displaystyle y=\frac{12-x}{3}&xet;. Az &tex;\displaystyle x\ge 2y\ge 0&xet; szerint &tex;\displaystyle y\ge 0&xet; és &tex;\displaystyle y\le \frac 12 x&xet;. Legyen &tex;\displaystyle x+2y=C&xet;, azaz &tex;\displaystyle y=\frac{C-x}{2}&xet;. Ábrázoljuk a lehetséges (x, y) párokat koordnátarendszerben.

Az &tex;\displaystyle y=\frac{12-x}{3}&xet; egyenes azon pontjai lesznek jók, amik a satírozott területbe eső szakaszon vannak. &tex;\displaystyle C&xet; értékeket meghatározhatjuk, ha ezen szakasz pontjain át -1/2 meredekségű egyeneseket húzunk: az &tex;\displaystyle y&xet; tengelyt &tex;\displaystyle C/2&xet;-ben metszik. Az összes egyenes egy ``szalagot'' határoz meg, amelyeket a szakasz végpontjain át húzott egyenesek határoznak meg. E szerint &tex;\displaystyle C&xet; értékének felét ez a két határolóegyenes határozza meg. A szakasz végpontjait az &tex;\displaystyle x+3y=12, x=2y&xet; és az &tex;\displaystyle x+3y=12, y=0&xet; egyenletrendszerekből számolhatjuk ki. A felső végpont a &tex;\displaystyle \left(\frac{24}{5},\ \frac{12}{5}\right)&xet;, az alsó végpont &tex;\displaystyle (12,\ 0)&xet;. Tehát &tex;\displaystyle 9,6\le C=x+2y\le 12&xet;.


Statistics on problem C. 1030.
200 students sent a solution.
5 points:143 students.
4 points:9 students.
3 points:12 students.
2 points:4 students.
1 point:12 students.
0 point:15 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   Nemzeti TehetsĂ©g Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE