KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1036. (May 2010)

C. 1036. How many 9-digit numbers (in decimal system) divisible by 11 are there in which every digit occurs except zero?

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel a 0-n kívül összesen 9 számjegyet használunk fel a 9 jegyű számhoz, ezért minden számjegy pontosan egyszer szerepel benne. A keresett számok 11-gyel oszthatóak, tehát az oszthatósági szabály szerint a páratlan helyeken álló számjegyek összegének és a páros helyeken álló számjegyek összegének különbsége osztható 11-gyel. Legyen a szám

\(\displaystyle \overline{abcdefghi}\)

alakú: \(\displaystyle 11\mid (a+c+e+g+i)-(b+d+f+h)\). A legnagyobb különbség \(\displaystyle (9+8+7+6+5)-(4+3+2+1)=25\), a legkisebb \(\displaystyle (1+2+3+4+5)-(6+7+8+9)=-15\). A számjegyek összege 45, (így a páratlan helyeken álló számjegyek összege pont 45 és a különbség összegének fele) tehát a különbség nem lehet páros: csak 11 vagy -11 lehet. Ha a különbség 11, akkor az ötös csoportbeli számok összege 28. Keressük azon öt különböző számjegyet, melyek összege 28: (9 8 7 3 1), (9 8 6 4 1), (9 8 6 3 2), (9 8 5 4 2), (9 7 6 5 1), (9 7 6 4 2), (9 7 5 4 3), (8 7 6 5 2), (8 7 6 4 3). Ha a különbség -11, akkor kereshetjük azon 4 számjegyet, melyek összege 28: (9 8 7 4) és (9 8 6 5). Mivel a számjegyek különbözők és egyik sem 0, ezért a csoporton belül bármilyen sorrendben követhetik egymást: a páratlan helyeken álló 5 számjegyből álló csoport 5!, a páros helyeken álló csoport 4 tagjának összesen 4! különböző sorrendje van. A 9 számjegy két részre osztásakor tehát \(\displaystyle 5! \cdot 4!\) különböző számot kapunk, melyek egy jó kettéosztás esetén mind oszthatóak 11-gyel. Összesen 9+2=11 jó kettéosztása volt a számjegyeknek, tehát \(\displaystyle 11\cdot 5! \cdot 4!=31\ 680\) darab olyan 11-gyel osztható 9-jegyű szám van, amiben a nulla kivételével minden számjegy előfordul.


Statistics:

113 students sent a solution.
5 points:57 students.
4 points:18 students.
3 points:18 students.
2 points:7 students.
1 point:3 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley