Problem C. 1037. (May 2010)

C. 1037. Find the isosceles triangle of minimum area circumscribed about a semicircle, such that its base lies on the line of the diameter of the semicircle and its legs are tangent to the semicircle.

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Az egyenlőszárú háromszög magasságvonala a háromszöget olyan derékszögű háromszögekre osztja, melyek átfogói az eredeti háromszög szárai (\(\displaystyle b\) hosszúak), az átfogóhoz tartozó magasság nagysága pedig a félkör sugara (\(\displaystyle r\)). Ha a szárszöget \(\displaystyle 2\alpha\)-val jelöljük, akkor \(\displaystyle r=b\cdot \cos\alpha \cdot \sin\alpha\), az eredeti háromszög területe \(\displaystyle br=\frac{r^2}{\cos\alpha \cdot \sin\alpha}=\frac{4r^2}{\sin 2\alpha}\). Ennek a törtnek az értéke akkor a legkisebb, ha a nevezőjének az értéke a legnagyobb, tekintve, hogy a félkör sugara \(\displaystyle r\) adott (állandó). Tehát \(\displaystyle \sin 2\alpha=1\), ami pontosan akkor teljesül (figyelembe véve, hogy \(\displaystyle 0^\circ<2\alpha<180^\circ\)), ha \(\displaystyle 2\alpha=90^\circ\), azaz a háromszög (egyenlőszárú) derékszögű háromszög.

2. megoldás. A szárat ossza a félkör érintési pontja \(\displaystyle b_1\) és \(\displaystyle b_2\) hosszúságú darabokra, a félkör sugara legyen \(\displaystyle r\). A magasságtétel szerint ekkor \(\displaystyle \sqrt{b_1\cdot b_2}=r\). Az egyenlőszárú háromszög területét a két derékszögű háromszög területéből számolva \(\displaystyle t=2\cdot 1/2\cdot (b_1 + b_2)r=(b_1 + b_2)r\), melynek legkisebb lehetséges értékét keressük. Számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség szerint \(\displaystyle t=(b_1 + b_2)r\ge 2\sqrt{b_1\cdot b_2}\cdot r=2r^2\), tehát a terület \(\displaystyle 2r^2\)-nél nem lehet kisebb. Ilyen legkisebb területű egyenlőszárú háromszög elő is állítható: az egyenlőség feltételeként adódó \(\displaystyle b_1=b_2=r\)-ből. Ebben az esetben az \(\displaystyle r\) -befogóhoz tartozó - magasságú derékszögű háromszög szintén egyenlőszárú, azaz alapján fekvő szögei \(\displaystyle 45^\circ\)-osak, tehát az eredeti egyenlőszárű háromszög is derékszögű.

Statistics:

109 students sent a solution.
5 points:	76 students.
4 points:	8 students.
3 points:	2 students.
2 points:	4 students.
1 point:	9 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2010