KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1038. (May 2010)

C. 1038. Define the function \mathop{\rm lac}\, (x) on the set of real numbers as follows:


\mathop{\rm lac}\, (x)=x, {\rm if \ } x\in [2n; 2n+1], {
\rm \ where \ } n\in\mathbb{Z}, \quad {\rm or} \quad 
-x+4n+3,  {\rm if \ } x\in 
]2n+1; 2n+2[, {\rm \ where \ } n\in\mathbb{Z}.

Solve the equation \mathop{\rm lac}\, (2x^2 + x + 4)=\mathop{\rm lac}\, (x^2 + 7x -1) on the set of real numbers.

(5 pont)

Deadline expired on 10 June 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle \mathop{\rm lac}\, (x)\) függvény minden \(\displaystyle [2n;2n+1]\) (ahol \(\displaystyle n\in \mathbb{Z}\)) intervallumban megegyezik az \(\displaystyle f(x)=x\) függvénnyel, míg minden egyéb \(\displaystyle \left]2n+1;2n+2\right[\) intervallum képe a \(\displaystyle {g(x)=-x}\) egyenessel párhuzamos, a

\(\displaystyle \left(2n+\frac{3}{2};2n+\frac{3}{2}\right) \)

pontra szimmetrikusan illeszkedő nyílt szakasz (lásd ábra).

A \(\displaystyle \mathop{\rm lac}\, (x)\) függvény tehát egy kölcsönösen egyértelmű függvény (azaz minden \(\displaystyle x\) értékhez egyetlen \(\displaystyle \mathop{\rm lac}\, (x)\) függvényérték tartozik és fordítva). Ebből a következik, hogy \(\displaystyle \mathop{\rm lac}\, (2x^2+x+4)=\mathop{\rm lac}\, (x^2+7x-1)\) akkor és csak akkor teljesülhet, ha \(\displaystyle 2x^2+x+4=x^2+7x-1\) is teljesül. Az egyenletet rendezve:

\(\displaystyle x^2-6x+5=0. \)

Ebből: \(\displaystyle x_1 =1\), \(\displaystyle x_2 =5\).

Tehát két megoldása van az eredeti egyenletnek.

Neumer Tamás (Budapest, Eötvös József Gimn., 11. évf.)


Statistics:

70 students sent a solution.
5 points:56 students.
4 points:1 student.
3 points:11 students.
1 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley