Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1039. (May 2010)

C. 1039. There are four unit spheres inside a larger sphere, such that each of them touches the large sphere and the other three unit spheres. What fraction of the volume of the large sphere is filled by the four unit spheres altogether?

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a nagy gömb középpontja \(\displaystyle O\), a kis gömböké \(\displaystyle O_1\), \(\displaystyle O_2\), \(\displaystyle O_3\), \(\displaystyle O_4\). A négy középpont egy szabályos tetraéder négy csúcsa (1. ábra). A tetraéder köré gömb írható és nyilván ezen gömb középpontja egybeesik a nagy gömb \(\displaystyle O\) középpontjával.

Jelöljük a tetraéder köré írt gömb sugarát \(\displaystyle r\)-rel, a nagy gömb sugarát \(\displaystyle R\)-rel. Tekintsük a tetraéder \(\displaystyle O_1O_2O_3\) háromszögét alapnak (2. ábra). A háromszög oldalainak hossza 2 egység. Az \(\displaystyle O_4\) csúcs merőleges vetülete az alapra \(\displaystyle P\). A tetraéder köré írt gömb \(\displaystyle O\) középpontja illeszkedik az \(\displaystyle O_4P\) szakaszra.

Az \(\displaystyle O_2PO_4\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle O_4O_2=2\),

\(\displaystyle PO_2=\frac 23\cdot \frac{2\sqrt{3}}{2}= \frac{2\sqrt{3}}{3}, \)

mivel \(\displaystyle O_2P\) a 2 egység oldalú szabályos háromszögben súlyvonal (és egyben magasságvonal) kétharmada. Az \(\displaystyle O_2PO_4\) háromszögben felírhatjuk a Pitagorasz-tételt a tetraéder \(\displaystyle O_4P\) magasságára:

\(\displaystyle O_4P^2= O_4O_2^2- PO_2^2, \quad{\rm azaz}\quad O_4P= \sqrt{2^2- \bigg(\frac{2\sqrt{3}}3\,\bigg)^{\!\!2}}= \sqrt{\frac 83}= \frac{2\sqrt{6}}3. \)

Az \(\displaystyle OPO_2\) háromszögre is írjuk fel a Pitagorasz-tételt az \(\displaystyle OO_2=r\),

\(\displaystyle OP=\frac{2\sqrt{6}}{3}-r\), és \(\displaystyle PO_2=\frac{2\sqrt{3}}{3}\) oldalakra:

\(\displaystyle r^2= \bigg(\frac{2\sqrt{6}}3- r\bigg)^{\!\!2}+ \bigg(\frac{2\sqrt{3}}3\,\bigg)^{\!\!2}, \)

innen \(\displaystyle r=\frac{\sqrt{6}}2\). A nagy gömb sugara pedig

\(\displaystyle R=r+1=\frac{\sqrt{6}}2+1= \frac{\sqrt{6}+2}2. \)

A nagy gömb térfogata:

\(\displaystyle V_1=\frac 43 \pi \bigg(\frac{\sqrt{6}+2}2\bigg)^{\!\!3}. \)

A négy, egységsugarú gömb együttes térfogata:

\(\displaystyle V_2=4 \cdot\frac{4\pi}3 \cdot 1^3= \frac{16\pi}3. \)

A térfogatok aránya:

\(\displaystyle \frac{V_2}{V_1}= \frac{\frac{16\pi}3}{\frac{4\pi}3 \left(\frac{\sqrt{6}+2}2\right)^{\!3}}= \frac 4{\frac{\left(\sqrt{6}+2\right)^3}8}= \frac{32}{\big(\sqrt{6}+2\big)^3}\approx 0{,}36. \)

Najbauer Eszter (Pécs, Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimn., 12. évf.)


Statistics:

101 students sent a solution.
5 points:61 students.
4 points:3 students.
3 points:6 students.
2 points:8 students.
1 point:12 students.
0 point:11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2010