Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1041. (September 2010)

C. 1041. The digits of a 2010-digit number divisible by nine are added. The digits of the resulting number are also added, and this process is repeated once more. What may be the final result?

(5 pont)

Deadline expired on October 11, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha egy szám osztható 9-cel, akkor a számjegyek összege is osztható 9-cel, azaz az összeg számjegyeinek összege is osztható 9-cel s.t.b. Az eredeti 2010-jegyű számot jelöljük \(\displaystyle N\)-nel, a számjegyei összegét \(\displaystyle N_1\)-gyel. Az \(\displaystyle N_1\) számjegyeinek összege legyen \(\displaystyle N_2\), az ő számjegyeinek összege pedig \(\displaystyle N_3\). A feladat \(\displaystyle N_3\) lehetséges értékeinek megadása.

\(\displaystyle N_1\) legalább \(\displaystyle 9\), legnagyobb értékét akkor kapjuk, ha \(\displaystyle N\) csupa 9-esből áll, azaz \(\displaystyle 2010\cdot 9 =18090\). \(\displaystyle N_1\) lehet még bármely, e két szám közötti 9-cel osztható szám.

Ugyanígy \(\displaystyle N_2\) legalább \(\displaystyle 9\), legfeljebb \(\displaystyle 36\) (ez az \(\displaystyle N_1=9999\) esetben fordul elő), minden más esetben kisebb összeget kapunk. Tehát \(\displaystyle N_2\) lehetséges értékei \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 18\), \(\displaystyle 27\), \(\displaystyle 36\). Mind a négyük számjegyeinek összege \(\displaystyle 9\), tehát \(\displaystyle {N_3=9}\).


Statistics:

397 students sent a solution.
5 points:200 students.
4 points:61 students.
3 points:43 students.
2 points:54 students.
1 point:22 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010